Докажи, что при любом значении переменной верно неравенство (p-3)(p+4) < p(p+1)

Привет! Давай разберёмся с этими неравенствами. Чтобы доказать, что они верны при любом значении переменной, нужно их упростить и посмотреть, что получится. ### 1. $(p-3)(p+4) < p(p+1)$ Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства: $$ p^2 + 4p - 3p - 12 < p^2 + p $$ Приведём подобные слагаемые слева: $$ p^2 + p - 12 < p^2 + p $$ Теперь перенесём всё, что с $p$, в одну сторону. Если вычесть из обеих частей $p^2$ и $p$, получим: $$ -12 < 0 $$ Это верное числовое неравенство, оно не зависит от $p$. Значит, и исходное неравенство верно при любом значении $p$. ### 2. $(x+1)^2 > x(x+2)$ Точно так же раскроем скобки. Слева используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$: $$ x^2 + 2x + 1 > x^2 + 2x $$ Вычтем из обеих частей $x^2$ и $2x$: $$ 1 > 0 $$ Это всегда правда, так что неравенство доказано! ### 3. $(a-5)(a+2) > (a+5)(a-8)$ Раскрываем скобки в обеих частях: $$ a^2 + 2a - 5a - 10 > a^2 - 8a + 5a - 40 $$ $$ a^2 - 3a - 10 > a^2 - 3a - 40 $$ Уберём одинаковые слагаемые ($a^2$ и $-3a$) из обеих частей: $$ -10 > -40 $$ Это верное неравенство, так как -10 на числовой прямой находится правее, чем -40. Значит, исходное неравенство тоже верное. ### 4. $y(y+8) < (y+4)^2$ Раскрываем скобки: $$ y^2 + 8y < y^2 + 8y + 16 $$ Вычитаем из обеих частей $y^2$ и $8y$: $$ 0 < 16 $$ Это очевидно верное утверждение. Неравенство доказано! ### 5. $(2a-5)^2 \le 6a^2-20a+25$ Раскроем скобки слева по формуле квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$: $$ (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 \le 6a^2 - 20a + 25 $$ $$ 4a^2 - 20a + 25 \le 6a^2 - 20a + 25 $$ Уберём одинаковые слагаемые ($-20a$ и $25$): $$ 4a^2 \le 6a^2 $$ Перенесём $4a^2$ вправо: $$ 0 \le 6a^2 - 4a^2 $$ $$ 0 \le 2a^2 $$ Квадрат любого числа ($a^2$) всегда больше или равен нулю. Если умножить его на 2, результат всё равно будет больше или равен нулю. Значит, это неравенство верно при любом $a$. ### 6. $a^2+4 \ge 4a$ Перенесём $4a$ в левую часть: $$ a^2 - 4a + 4 \ge 0 $$ Слева у нас получилась формула квадрата разности: $$ (a-2)^2 \ge 0 $$ Квадрат любого числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Это утверждение всегда верно. Значит, и исходное неравенство верно при любом $a$. Ты молодец, что разбираешься с такими задачами! Если что-то непонятно, спрашивай.