Докажи, что при любом значении переменной верно неравенство (p-3)(p+4) < p(p+1).

Привет! Давай разберёмся с этими неравенствами. Чтобы доказать, что они верны при любом значении переменной, нужно их упростить и посмотреть, что получится. **1. $(p-3)(p+4) < p(p+1)$** Раскроем скобки в обеих частях: $$p^2 + 4p - 3p - 12 < p^2 + p$$ $$p^2 + p - 12 < p^2 + p$$ Теперь уберём одинаковые части ($p^2 + p$) слева и справа. Получим: $$-12 < 0$$ Это верное числовое неравенство, значит, и исходное неравенство верно всегда. **2. $(x+1)^2 > x(x+2)$** Тоже раскроем скобки: $$x^2 + 2x + 1 > x^2 + 2x$$ Убираем $x^2 + 2x$ с обеих сторон: $$1 > 0$$ Это правда, значит, и первое неравенство всегда верное. **3. $(a-5)(a+2) > (a+5)(a-8)$** Раскрываем скобки: $$a^2 + 2a - 5a - 10 > a^2 - 8a + 5a - 40$$ $$a^2 - 3a - 10 > a^2 - 3a - 40$$ Убираем $a^2 - 3a$ слева и справа: $$-10 > -40$$ Это верно, так как -10 больше, чем -40. Значит, и исходное неравенство верно. **4. $y(y+8) < (y+4)^2$** Раскрываем скобки: $$y^2 + 8y < y^2 + 8y + 16$$ Убираем $y^2 + 8y$ с обеих сторон: $$0 < 16$$ Это верное неравенство, поэтому и исходное верно при любом $y$. **5. $(2a-5)^2 \leq 6a^2 - 20a + 25$** Раскроем скобки слева: $$4a^2 - 20a + 25 \leq 6a^2 - 20a + 25$$ Перенесём все члены из левой части в правую, изменив их знаки: $$0 \leq (6a^2 - 20a + 25) - (4a^2 - 20a + 25)$$ $$0 \leq 6a^2 - 20a + 25 - 4a^2 + 20a - 25$$ $$0 \leq 2a^2$$ Квадрат любого числа ($a^2$) всегда больше или равен нулю. Если умножить его на 2, результат всё равно будет не меньше нуля. Значит, это неравенство верно всегда. **6. $a^2+4 \geq 4a$** Перенесём $4a$ в левую часть: $$a^2 - 4a + 4 \geq 0$$ Заметим, что левая часть — это формула квадрата разности: $$(a-2)^2 \geq 0$$ Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. Это утверждение всегда истинно, а значит, и исходное неравенство верно при любом $a$. Ты отлично справляешься! Если что-то непонятно, спрашивай.