При каком значении переменной в выражении: $x^2 - 8x + 9$

Привет! Давай разберем эти задания по алгебре. ### 11. Укажите допустимые значения переменной в выражении: Помни, что знаменатель дроби не может быть равен нулю, потому что на ноль делить нельзя! А под корнем чётной степени (квадратный корень, корень четвёртой степени и т.д.) не может быть отрицательного числа. а) $x^2 - 8x + 9$; Здесь нет дробей, в знаменателе нет переменной, и нет корней. Значит, $x$ может быть любым числом. **Ответ: $x$ — любое число** б) $\frac{3x - 6}{7}$; В этой дроби переменная $x$ находится только в числителе. Знаменатель — это просто число 7, и оно никогда не будет равно нулю. Так что $x$ может быть любым числом. **Ответ: $x$ — любое число** в) $\frac{x - 5}{x^2 + 25} - 3x$; Здесь есть дробь $\frac{x - 5}{x^2 + 25}$. Знаменатель $x^2 + 25$ не должен быть равен нулю. Поскольку $x^2$ всегда больше или равно 0 (любое число в квадрате неотрицательное), то $x^2 + 25$ всегда будет больше 25. Значит, он никогда не равен нулю. $x$ может быть любым числом. **Ответ: $x$ — любое число** г) $\frac{1}{6x - 3}$; Здесь есть знаменатель $6x - 3$. Он не должен быть равен нулю: $6x - 3 \neq 0$ $6x \neq 3$ $x \neq \frac{3}{6}$ $x \neq \frac{1}{2}$ **Ответ: $x \neq \frac{1}{2}$** д) $\frac{x^2 - 8}{4x(x + 1)}$; Здесь знаменатель $4x(x + 1)$ не должен быть равен нулю. Это произойдёт, если: $4x \neq 0 \implies x \neq 0$ или $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$ **Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq -1$** е) $\frac{x}{x + 8} + \frac{x - 8}{x}$; Здесь две дроби, и у каждой свой знаменатель, который не должен быть равен нулю. Для первой дроби: $x + 8 \neq 0 \implies x \neq -8$ Для второй дроби: $x \neq 0$ Значит, $x$ не должен быть равен -8 и не должен быть равен 0. **Ответ: $x \neq -8$ и $x \neq 0$** ### 12. Найдите допустимые значения переменной в выражении: а) $\frac{5y - 8}{11}$; Здесь переменная $y$ только в числителе, а знаменатель — число 11. Он никогда не равен нулю. Так что $y$ может быть любым числом. **Ответ: $y$ — любое число** б) $\frac{y^2 + 1}{y^2 - 2y}$; Знаменатель $y^2 - 2y$ не должен быть равен нулю. Вынесем $y$ за скобки: $y(y - 2) \neq 0$ Это значит, что $y \neq 0$ и $y - 2 \neq 0 \implies y \neq 2$. **Ответ: $y \neq 0$ и $y \neq 2$** в) $\frac{y}{y - 6} + \frac{15}{y + 6}$; Здесь две дроби. Знаменатель каждой не должен быть равен нулю. Для первой дроби: $y - 6 \neq 0 \implies y \neq 6$ Для второй дроби: $y + 6 \neq 0 \implies y \neq -6$ **Ответ: $y \neq 6$ и $y \neq -6$** г) $\frac{25}{y - 9}$; Знаменатель $y - 9$ не должен быть равен нулю: $y - 9 \neq 0 \implies y \neq 9$ **Ответ: $y \neq 9$** д) $\frac{y - 10}{y^2 + 3}$; Знаменатель $y^2 + 3$ не должен быть равен нулю. Так как $y^2 \geq 0$, то $y^2 + 3$ всегда больше или равно 3. Значит, он никогда не равен нулю. $y$ может быть любым числом. **Ответ: $y$ — любое число** е) $\frac{32}{y} + \frac{y + 1}{y + 7}$; Здесь две дроби. Знаменатель каждой не должен быть равен нулю. Для первой дроби: $y \neq 0$ Для второй дроби: $y + 7 \neq 0 \implies y \neq -7$ **Ответ: $y \neq 0$ и $y \neq -7$** ### 13. Найдите область определения функции: Область определения функции — это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл (то есть, нет деления на ноль или корней из отрицательных чисел). а) $y = \frac{1}{x - 2}$; Знаменатель $x - 2$ не должен быть равен нулю: $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$ **Ответ: $x \neq 2$** б) $y = \frac{2x + 3}{x(x + 1)}$; Знаменатель $x(x + 1)$ не должен быть равен нулю: $x \neq 0$ $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$ **Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq -1$** в) $y = x + \frac{1}{x + 5}$; Здесь есть дробь $\frac{1}{x + 5}$. Знаменатель $x + 5$ не должен быть равен нулю: $x + 5 \neq 0 \implies x \neq -5$ **Ответ: $x \neq -5$** ### 14. При каком значении переменной значение дроби $\frac{x - 3}{5}$ равно: Чтобы дробь была равна какому-то числу, нужно приравнять её к этому числу и решить уравнение. а) 1; $\frac{x - 3}{5} = 1$ $x - 3 = 1 \cdot 5$ $x - 3 = 5$ $x = 5 + 3$ $x = 8$ **Ответ: $x = 8$** б) 0; $\frac{x - 3}{5} = 0$ Если дробь равна нулю, то её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (здесь знаменатель 5, что не 0). $x - 3 = 0$ $x = 3$ **Ответ: $x = 3$** в) -1; $\frac{x - 3}{5} = -1$ $x - 3 = -1 \cdot 5$ $x - 3 = -5$ $x = -5 + 3$ $x = -2$ **Ответ: $x = -2$** г) 3? $\frac{x - 3}{5} = 3$ $x - 3 = 3 \cdot 5$ $x - 3 = 15$ $x = 15 + 3$ $x = 18$ **Ответ: $x = 18$** ### 15. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби: Дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. а) $\frac{y - 5}{8}$; Числитель $y - 5$ должен быть равен нулю: $y - 5 = 0 \implies y = 5$ Знаменатель 8 не равен нулю, всё хорошо. **Ответ: $y = 5$** б) $\frac{2y + 3}{10}$; Числитель $2y + 3$ должен быть равен нулю: $2y + 3 = 0$ $2y = -3$ $y = -\frac{3}{2}$ или $y = -1.5$ Знаменатель 10 не равен нулю. **Ответ: $y = -1.5$** в) $\frac{x(x - 1)}{x + 4}$; Числитель $x(x - 1)$ должен быть равен нулю. Это значит, что $x = 0$ или $x - 1 = 0 \implies x = 1$. При этом знаменатель $x + 4$ не должен быть равен нулю, то есть $x \neq -4$. Оба наших значения (0 и 1) не равны -4. **Ответ: $x = 0$ или $x = 1$** г) $\frac{x(x + 3)?}{2x + 6}$ Числитель $x(x + 3)$ должен быть равен нулю. Это значит, что $x = 0$ или $x + 3 = 0 \implies x = -3$. Знаменатель $2x + 6$ не должен быть равен нулю. $2x + 6 = 0 \implies 2x = -6 \implies x = -3$. Мы видим, что при $x = -3$ знаменатель тоже обращается в ноль. А так нельзя! Значит, $x = -3$ не является решением. Остаётся только $x = 0$. **Ответ: $x = 0$** ### 16. Найдите значения переменной, при которых равно нулю значение дроби: Помним: дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — нет. а) $\frac{m + 4}{6}$; Числитель $m + 4 = 0 \implies m = -4$. Знаменатель 6 не равен нулю. **Ответ: $m = -4$** б) $\frac{7 - 5n}{11}$; Числитель $7 - 5n = 0 \implies 5n = 7 \implies n = \frac{7}{5}$ или $n = 1.4$. Знаменатель 11 не равен нулю. **Ответ: $n = 1.4$** в) $\frac{b^2 - b}{b + 2}$; Числитель $b^2 - b = 0$. Вынесем $b$ за скобки: $b(b - 1) = 0$. Это значит, что $b = 0$ или $b - 1 = 0 \implies b = 1$. Знаменатель $b + 2$ не должен быть равен нулю, то есть $b \neq -2$. Наши значения (0 и 1) не равны -2. **Ответ: $b = 0$ или $b = 1$** г) $\frac{y^2 - 25}{3y - 15}$; Числитель $y^2 - 25 = 0$. Это разность квадратов: $(y - 5)(y + 5) = 0$. Значит, $y - 5 = 0 \implies y = 5$ или $y + 5 = 0 \implies y = -5$. Знаменатель $3y - 15$ не должен быть равен нулю. $3y - 15 = 0 \implies 3y = 15 \implies y = 5$. Мы видим, что при $y = 5$ знаменатель тоже обращается в ноль. Так нельзя! Значит, $y = 5$ не является решением. Остаётся только $y = -5$. **Ответ: $y = -5$** ### 17. Определите знак дроби $\frac{a}{b}$, если известно, что: Знак дроби зависит от знаков числителя и знаменателя. Если они одинаковые (оба положительные или оба отрицательные), дробь положительная. Если знаки разные, дробь отрицательная. а) $a > 0$ и $b > 0$; $a$ положительное, $b$ положительное. $(+) / (+) = (+)$. **Ответ: Дробь положительная ($> 0$)** б) $a > 0$ и $b < 0$; $a$ положительное, $b$ отрицательное. $(+) / (-) = (-)$. **Ответ: Дробь отрицательная ($< 0$)** в) $a < 0$ и $b > 0$; $a$ отрицательное, $b$ положительное. $(-) / (+) = (-)$. **Ответ: Дробь отрицательная ($< 0$)** г) $a < 0$ и $b < 0$. $a$ отрицательное, $b$ отрицательное. $(-) / (-) = (+)$. **Ответ: Дробь положительная ($> 0$)** ### 18. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби: а) $\frac{3}{x^2 + 1}$ положительно; Числитель 3 — это положительное число. Знаменатель $x^2 + 1$. Мы знаем, что $x^2 \geq 0$ при любом $x$. Значит, $x^2 + 1 \geq 1$. То есть знаменатель всегда положительный. Положительное число, делённое на положительное, всегда даёт положительное число. **Ответ: $\frac{3}{x^2 + 1} > 0$** б) $\frac{(a - 1)^2}{a^2 + 10}$ неотрицательно; Числитель $(a - 1)^2$. Любое число в квадрате всегда неотрицательно (больше или равно 0). Знаменатель $a^2 + 10$. Так как $a^2 \geq 0$, то $a^2 + 10 \geq 10$. Значит, знаменатель всегда положительный. Неотрицательное число, делённое на положительное, всегда даёт неотрицательное число. **Ответ: $\frac{(a - 1)^2}{a^2 + 10} \geq 0$** в) $\frac{-5}{y^2 + 4}$ отрицательно; Числитель -5 — это отрицательное число. Знаменатель $y^2 + 4$. Мы знаем, что $y^2 \geq 0$. Значит, $y^2 + 4 \geq 4$. То есть знаменатель всегда положительный. Отрицательное число, делённое на положительное, всегда даёт отрицательное число. **Ответ: $\frac{-5}{y^2 + 4} < 0$** г) $\frac{(b - 3)^2}{-b^2 - 1}$ неположительно. Числитель $(b - 3)^2$. Любое число в квадрате всегда неотрицательно (больше или равно 0). Знаменатель $-b^2 - 1$. Мы знаем, что $b^2 \geq 0$, тогда $-b^2 \leq 0$. Значит, $-b^2 - 1 \leq -1$. То есть знаменатель всегда отрицательный. Неотрицательное число, делённое на отрицательное, всегда даёт неположительное число (меньше или равно 0). **Ответ: $\frac{(b - 3)^2}{-b^2 - 1} \leq 0$** ### 19. При каком значении $a$ принимает наибольшее значение дробь: Чтобы дробь была наибольшей, её числитель должен быть как можно больше (или наименее отрицательным), а знаменатель — как можно меньше (но не ноль и не отрицательный, если числитель положительный). а) $\frac{4}{a^2 + 5}$; Числитель 4 — это постоянное положительное число. Чтобы дробь была наибольшей, знаменатель $a^2 + 5$ должен быть наименьшим. $a^2$ всегда $\geq 0$. Наименьшее значение $a^2$ равно 0, когда $a = 0$. Тогда наименьшее значение знаменателя будет $0 + 5 = 5$. **Ответ: $a = 0$** б) $\frac{10}{(a - 3)^2 + 1}$? Числитель 10 — это постоянное положительное число. Чтобы дробь была наибольшей, знаменатель $(a - 3)^2 + 1$ должен быть наименьшим. $(a - 3)^2$ всегда $\geq 0$. Наименьшее значение $(a - 3)^2$ равно 0, когда $a - 3 = 0 \implies a = 3$. Тогда наименьшее значение знаменателя будет $0 + 1 = 1$. **Ответ: $a = 3$**