Укажи допустимые значения переменной в выражении $x^2 - 8x + 9$

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями по математике. Тут нужно найти допустимые значения переменной, область определения функции, когда дробь равна нулю и даже когда она принимает наибольшее значение. ### 11. Укажите допустимые значения переменной в выражении: Помни, что знаменатель дроби не может быть равен нулю, потому что на ноль делить нельзя. а) $x^2 - 8x + 9$: Здесь нет деления на переменную, поэтому $x$ может быть любым числом. **Ответ: $x$ — любое число** б) $\frac{3x - 6}{7}$: Знаменатель здесь — это число 7, оно никогда не будет нулём. Так что $x$ может быть любым. **Ответ: $x$ — любое число** в) $\frac{x - 5}{x^2 + 25}$: Знаменатель $x^2 + 25$. Если $x^2$ всегда больше или равен 0, то $x^2 + 25$ всегда больше 25. Значит, знаменатель никогда не будет нулём. **Ответ: $x$ — любое число** г) $x - 3x$: Это просто $x(1 - 3) = -2x$. Здесь нет дробей. **Ответ: $x$ — любое число** д) $\frac{1}{6x - 3}$: Знаменатель $6x - 3$ не должен быть равен нулю. То есть $6x - 3 \neq 0$. Прибавим 3 к обеим частям: $6x \neq 3$. Разделим на 6: $x \neq \frac{3}{6}$, а это значит $x \neq \frac{1}{2}$. **Ответ: $x \neq \frac{1}{2}$** е) $\frac{x^2 - 8}{4x(x + 1)}$: Здесь два множителя в знаменателе: $4x$ и $(x + 1)$. Каждый из них не должен быть равен нулю. $4x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$ **Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq -1$** ж) $\frac{x - 8}{x + 8} + \frac{x}{x}$: Тут два знаменателя. Первый $x + 8 \neq 0 \Rightarrow x \neq -8$. Второй $x \neq 0$. **Ответ: $x \neq -8$ и $x \neq 0$** ### 12. Найдите допустимые значения переменной в выражении: Опять же, смотрим, чтобы знаменатель не был равен нулю. а) $\frac{5y - 8}{11}$: Знаменатель 11, не ноль. $y$ может быть любым. **Ответ: $y$ — любое число** б) $\frac{25}{y - 9}$: Знаменатель $y - 9 \neq 0 \Rightarrow y \neq 9$. **Ответ: $y \neq 9$** в) $\frac{y^2 + 1}{y^2 - 2y}$: Знаменатель $y^2 - 2y = y(y - 2)$. Он не должен быть равен нулю. $y \neq 0$ $y - 2 \neq 0 \Rightarrow y \neq 2$ **Ответ: $y \neq 0$ и $y \neq 2$** г) $\frac{y - 10}{y^2 + 3}$: Знаменатель $y^2 + 3$. $y^2$ всегда $\geq 0$, значит $y^2 + 3 \geq 3$. Знаменатель никогда не равен нулю. **Ответ: $y$ — любое число** д) $\frac{y}{y - 6} + \frac{15}{y + 6}$: Тут два знаменателя. $y - 6 \neq 0 \Rightarrow y \neq 6$ $y + 6 \neq 0 \Rightarrow y \neq -6$ **Ответ: $y \neq 6$ и $y \neq -6$** е) $\frac{32}{y} + \frac{y + 1}{y + 7}$: И снова два знаменателя. $y \neq 0$ $y + 7 \neq 0 \Rightarrow y \neq -7$ **Ответ: $y \neq 0$ и $y \neq -7$** ### 13. Найдите область определения функции: Область определения — это все допустимые значения переменной, то есть такие, при которых выражение имеет смысл. Для дробей это означает, что знаменатель не должен быть нулём. а) $y = \frac{1}{x - 2}$: Знаменатель $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$. **Ответ: $x \neq 2$** б) $y = \frac{2x + 3}{x(x + 1)}$: Знаменатель $x(x + 1)$. $x \neq 0$ $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$ **Ответ: $x \neq 0$ и $x \neq -1$** в) $y = x + \frac{1}{x + 5}$: Знаменатель $x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$. **Ответ: $x \neq -5$** ### 14. При каком значении переменной значение дроби $\frac{x - 3}{5}$ равно: Нам нужно, чтобы вся дробь была равна заданному числу. а) 1: $\frac{x - 3}{5} = 1$ $x - 3 = 1 \cdot 5$ $x - 3 = 5$ $x = 5 + 3$ $x = 8$ **Ответ: 8** б) 0: $\frac{x - 3}{5} = 0$ Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель нет. Здесь знаменатель 5, он не ноль. $x - 3 = 0$ $x = 3$ **Ответ: 3** в) -1: $\frac{x - 3}{5} = -1$ $x - 3 = -1 \cdot 5$ $x - 3 = -5$ $x = -5 + 3$ $x = -2$ **Ответ: -2** г) 3: $\frac{x - 3}{5} = 3$ $x - 3 = 3 \cdot 5$ $x - 3 = 15$ $x = 15 + 3$ $x = 18$ **Ответ: 18** ### 15. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби: Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. а) $\frac{y - 5}{8}$: Числитель $y - 5 = 0 \Rightarrow y = 5$. Знаменатель 8 не ноль. **Ответ: $y = 5$** б) $\frac{2y + 3}{10}$: Числитель $2y + 3 = 0$. $2y = -3 \Rightarrow y = -\frac{3}{2} = -1.5$. Знаменатель 10 не ноль. **Ответ: $y = -1.5$** в) $\frac{x(x - 1)}{x + 4}$: Числитель $x(x - 1) = 0$. Это значит, что $x = 0$ или $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$. Теперь проверим знаменатель: $x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4$. Оба наших значения ($0$ и $1$) не равны $-4$, так что они подходят. **Ответ: $x = 0$ или $x = 1$** г) $\frac{x(x + 3)}{2x + 6}$: Числитель $x(x + 3) = 0$. Это значит, $x = 0$ или $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$. Теперь проверим знаменатель: $2x + 6 \neq 0$. Разделим на 2: $x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$. Мы видим, что $x = -3$ делает знаменатель равным нулю, значит это значение не подходит. Только $x = 0$ подходит. **Ответ: $x = 0$** ### 16. Найдите значения переменной, при которых равно нулю значение дроби: Так же, как и в предыдущем задании, числитель равен нулю, а знаменатель нет. а) $\frac{m + 4}{6}$: Числитель $m + 4 = 0 \Rightarrow m = -4$. Знаменатель 6 не ноль. **Ответ: $m = -4$** б) $\frac{7 - 5n}{11}$: Числитель $7 - 5n = 0$. $7 = 5n \Rightarrow n = \frac{7}{5} = 1.4$. Знаменатель 11 не ноль. **Ответ: $n = 1.4$** в) $\frac{b^2 - b}{b + 2}$: Числитель $b^2 - b = 0$. Вынесем $b$ за скобки: $b(b - 1) = 0$. Это значит $b = 0$ или $b - 1 = 0 \Rightarrow b = 1$. Проверим знаменатель: $b + 2 \neq 0 \Rightarrow b \neq -2$. Оба значения ($0$ и $1$) не равны $-2$, так что они подходят. **Ответ: $b = 0$ или $b = 1$** г) $\frac{y^2 - 25}{3y - 15}$: Числитель $y^2 - 25 = 0$. Это формула разности квадратов: $(y - 5)(y + 5) = 0$. Значит $y - 5 = 0 \Rightarrow y = 5$ или $y + 5 = 0 \Rightarrow y = -5$. Проверим знаменатель: $3y - 15 \neq 0$. Разделим на 3: $y - 5 \neq 0 \Rightarrow y \neq 5$. Мы видим, что $y = 5$ делает знаменатель равным нулю, значит это значение не подходит. Только $y = -5$ подходит. **Ответ: $y = -5$** ### 17. Определите знак дроби $\frac{a}{b}$, если известно, что: Знак дроби зависит от знаков числителя и знаменателя. Если знаки одинаковые (оба плюс или оба минус), то дробь положительная. Если знаки разные (один плюс, другой минус), то дробь отрицательная. а) $a > 0$ и $b > 0$: Числитель положительный, знаменатель положительный. $(+)/(+) = (+)$. **Ответ: Дробь положительная ($> 0$)** б) $a > 0$ и $b < 0$: Числитель положительный, знаменатель отрицательный. $(+)/(-) = (-)$. **Ответ: Дробь отрицательная ($< 0$)** в) $a < 0$ и $b > 0$: Числитель отрицательный, знаменатель положительный. $(-)/(+) = (-)$. **Ответ: Дробь отрицательная ($< 0$)** г) $a < 0$ и $b < 0$: Числитель отрицательный, знаменатель отрицательный. $(-)/(-) = (+)$. **Ответ: Дробь положительная ($> 0$)** ### 18. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби: а) $\frac{3}{x^2 + 1}$ положительно; Числитель 3 — это положительное число. Знаменатель $x^2 + 1$. Мы знаем, что $x^2 \geq 0$ для любого $x$. Значит, $x^2 + 1 \geq 1$. Это всегда положительное число. Положительное число, делённое на положительное число, всегда даёт положительное число. **Доказано.** б) $\frac{(a - 1)^2}{a^2 + 10}$ неотрицательно; Числитель $(a - 1)^2$. Любое число в квадрате либо положительное, либо равно нулю (если $(a-1)=0$, то есть $a=1$). Значит, $(a - 1)^2 \geq 0$. Знаменатель $a^2 + 10$. Мы знаем, что $a^2 \geq 0$, значит $a^2 + 10 \geq 10$. Это всегда положительное число. Неотрицательное число, делённое на положительное число, всегда даёт неотрицательное число. **Доказано.** в) $\frac{-5}{y^2 + 4}$ отрицательно; Числитель -5 — это отрицательное число. Знаменатель $y^2 + 4$. Мы знаем, что $y^2 \geq 0$, значит $y^2 + 4 \geq 4$. Это всегда положительное число. Отрицательное число, делённое на положительное число, всегда даёт отрицательное число. **Доказано.** г) $\frac{(b - 3)^2}{-b^2 - 1}$ неположительно. Числитель $(b - 3)^2$. Любое число в квадрате либо положительное, либо равно нулю. Значит, $(b - 3)^2 \geq 0$. Знаменатель $-b^2 - 1$. Мы знаем, что $b^2 \geq 0$, значит $-b^2 \leq 0$. Тогда $-b^2 - 1$ всегда будет отрицательным числом (например, если $b=0$, то $-1$; если $b=1$, то $-1-1=-2$). Неотрицательное число, делённое на отрицательное число, даёт либо отрицательное число, либо ноль (если числитель 0). Значит, результат всегда неположительный. **Доказано.** ### 19. При каком значении $a$ принимает наибольшее значение дробь: Чтобы дробь была наибольшей, нужно, чтобы её числитель был как можно больше (или наименьший отрицательный), а знаменатель как можно меньше (или наибольший отрицательный), но так, чтобы знак дроби был положительным, если возможно. а) $\frac{4}{a^2 + 5}$: Числитель 4 — положительное число. Чтобы дробь была наибольшей, знаменатель $a^2 + 5$ должен быть наименьшим. $a^2$ всегда $\geq 0$. Наименьшее значение $a^2$ — это 0, когда $a = 0$. Тогда знаменатель будет $0^2 + 5 = 5$. Дробь будет $\frac{4}{5}$. **Ответ: $a = 0$** б) $\frac{10}{(a - 3)^2 + 1}$: Числитель 10 — положительное число. Чтобы дробь была наибольшей, знаменатель $(a - 3)^2 + 1$ должен быть наименьшим. $(a - 3)^2$ всегда $\geq 0$. Наименьшее значение $(a - 3)^2$ — это 0, когда $a - 3 = 0$, то есть $a = 3$. Тогда знаменатель будет $0^2 + 1 = 1$. Дробь будет $\frac{10}{1} = 10$. **Ответ: $a = 3$**