Найди $\sin \alpha$, если $\cos \alpha = \frac{1}{2}$

Привет! Чтобы найти $\sin \alpha$, если известен $\cos \alpha$, нам пригодится основное тригонометрическое тождество. Оно выглядит так: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ Из этой формулы мы можем выразить $\sin \alpha$: $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$$ $$\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}$$ Важно помнить, что синус может быть как положительным, так и отрицательным. В задании не указано, в какой четверти находится угол $\alpha$, поэтому мы будем указывать оба знака. Давай теперь решим каждый пункт: а) $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ Подставляем значение $\cos \alpha$ в формулу: $$\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}$$ $$\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \frac{1}{4}}$$ $$\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$$ $$\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$$ $$\sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$ **Ответ: $\sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$** б) $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$ Подставляем значение $\cos \alpha$ в формулу: $$\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \left(-\frac{2}{3}\right)^2}$$ $$\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \frac{4}{9}}$$ $$\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{9} - \frac{4}{9}}$$ $$\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{5}{9}}$$ $$\sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$$ **Ответ: $\sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$** в) $\cos \alpha = -1$ Подставляем значение $\cos \alpha$ в формулу: $$\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - (-1)^2}$$ $$\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - 1}$$ $$\sin \alpha = \pm \sqrt{0}$$ $$\sin \alpha = 0$$ **Ответ: $\sin \alpha = 0$**