Упрости выражение $\left(m - \frac{4mn}{m+n}\right) : \left(\frac{m}{n+m} + \frac{n}{m-n} - \frac{2mn}{n^2-m^2}\right)$ и найди его значение при $m = \frac{1}{5}$, $n = -\frac{4}{5}$.

Привет! Давай разберемся с этим заданием. Нам нужно упростить выражение и потом подставить значения, чтобы найти числовой ответ. б) У нас есть выражение: $$ \left(m - \frac{4mn}{m+n}\right) : \left(\frac{m}{n+m} + \frac{n}{m-n} - \frac{2mn}{n^2-m^2}\right) $$ Давай упрощать его по частям. **Шаг 1: Упростим первую скобку** Приведём к общему знаменателю $m+n$: $$ m - \frac{4mn}{m+n} = \frac{m(m+n)}{m+n} - \frac{4mn}{m+n} = \frac{m^2 + mn - 4mn}{m+n} = \frac{m^2 - 3mn}{m+n} = \frac{m(m - 3n)}{m+n} $$ **Шаг 2: Упростим вторую скобку** Заметим, что $n^2 - m^2 = -(m^2 - n^2) = -(m-n)(m+n)$. Также $n+m = m+n$. Приведём все дроби к общему знаменателю $(m-n)(m+n)$: $$ \frac{m}{m+n} + \frac{n}{m-n} - \frac{2mn}{n^2-m^2} = \frac{m}{m+n} + \frac{n}{m-n} + \frac{2mn}{(m-n)(m+n)} $$ Теперь приводим к общему знаменателю $(m-n)(m+n)$: $$ \frac{m(m-n)}{(m+n)(m-n)} + \frac{n(m+n)}{(m-n)(m+n)} + \frac{2mn}{(m-n)(m+n)} = \frac{m^2 - mn + mn + n^2 + 2mn}{(m-n)(m+n)} = \frac{m^2 + 2mn + n^2}{(m-n)(m+n)} $$ Видим, что в числителе у нас формула квадрата суммы: $m^2 + 2mn + n^2 = (m+n)^2$. Значит, вторая скобка равна: $$ \frac{(m+n)^2}{(m-n)(m+n)} = \frac{m+n}{m-n} $$ **Шаг 3: Выполним деление** Теперь разделим результат из Шага 1 на результат из Шага 2. Деление дробей — это умножение на обратную дробь: $$ \frac{m(m - 3n)}{m+n} : \frac{m+n}{m-n} = \frac{m(m - 3n)}{m+n} \cdot \frac{m-n}{m+n} = \frac{m(m-3n)(m-n)}{(m+n)^2} $$ **Шаг 4: Подставим значения m и n** Нам дано $m = \frac{1}{5}$ и $n = -\frac{4}{5}$. Сначала посчитаем отдельные части: $m - 3n = \frac{1}{5} - 3 \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{1}{5} + \frac{12}{5} = \frac{13}{5}$ $m - n = \frac{1}{5} - \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{1}{5} + \frac{4}{5} = \frac{5}{5} = 1$ $m + n = \frac{1}{5} + \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{1}{5} - \frac{4}{5} = -\frac{3}{5}$ Теперь подставим это в упрощённое выражение: $$ \frac{m(m-3n)(m-n)}{(m+n)^2} = \frac{\frac{1}{5} \cdot \frac{13}{5} \cdot 1}{\left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{\frac{13}{25}}{\frac{9}{25}} $$ Чтобы разделить эти дроби, мы умножаем первую на перевёрнутую вторую: $$ \frac{13}{25} \cdot \frac{25}{9} = \frac{13}{9} $$ **Ответ:** $\frac{13}{9}$