Упрости выражение и найди его значение при $m = \frac{1}{5}$, $n = \frac{4}{5}$

Привет! Давай разберёмся с этим заданием по алгебре. Нам нужно упростить выражение и потом подставить вместо букв числа, чтобы посчитать результат. **Б) Упрости выражение и найди его значение при $m = \frac{1}{5}$, $n = \frac{4}{5}$** Сначала упростим выражение: $$ \left( \frac{m}{m-n} - \frac{4mn}{m^2-n^2} \right) : \left( \frac{m}{m+n} + \frac{n}{m-n} - \frac{2mn}{n^2-m^2} \right) $$ Первая скобка: 1. Разложим знаменатель второй дроби: $m^2 - n^2 = (m-n)(m+n)$. $$ \frac{m}{m-n} - \frac{4mn}{(m-n)(m+n)} $$ 2. Приведём к общему знаменателю $(m-n)(m+n)$. Для этого первую дробь домножим на $(m+n)$: $$ \frac{m(m+n)}{(m-n)(m+n)} - \frac{4mn}{(m-n)(m+n)} $$ 3. Выполним вычитание: $$ \frac{m(m+n) - 4mn}{(m-n)(m+n)} = \frac{m^2 + mn - 4mn}{(m-n)(m+n)} = \frac{m^2 - 3mn}{(m-n)(m+n)} = \frac{m(m-3n)}{(m-n)(m+n)} $$ Вторая скобка: 1. Разложим знаменатель последней дроби: $n^2 - m^2 = -(m^2 - n^2) = -(m-n)(m+n)$. $$ \frac{m}{m+n} + \frac{n}{m-n} - \frac{2mn}{-(m-n)(m+n)} $$ $$ = \frac{m}{m+n} + \frac{n}{m-n} + \frac{2mn}{(m-n)(m+n)} $$ 2. Приведём к общему знаменателю $(m-n)(m+n)$. Для этого первую дробь домножим на $(m-n)$, вторую на $(m+n)$: $$ \frac{m(m-n)}{(m+n)(m-n)} + \frac{n(m+n)}{(m-n)(m+n)} + \frac{2mn}{(m-n)(m+n)} $$ 3. Выполним сложение: $$ \frac{m(m-n) + n(m+n) + 2mn}{(m-n)(m+n)} = \frac{m^2 - mn + mn + n^2 + 2mn}{(m-n)(m+n)} = \frac{m^2 + 2mn + n^2}{(m-n)(m+n)} $$ 4. Заметим, что числитель — это формула квадрата суммы: $m^2 + 2mn + n^2 = (m+n)^2$. $$ \frac{(m+n)^2}{(m-n)(m+n)} = \frac{m+n}{m-n} $$ Теперь выполним деление первой скобки на вторую: $$ \left( \frac{m(m-3n)}{(m-n)(m+n)} \right) : \left( \frac{m+n}{m-n} \right) $$ Чтобы разделить дроби, нужно первую дробь умножить на перевёрнутую вторую: $$ \frac{m(m-3n)}{(m-n)(m+n)} \cdot \frac{m-n}{m+n} $$ Сократим $(m-n)$ в числителе и знаменателе: $$ \frac{m(m-3n)}{(m+n)} \cdot \frac{1}{m+n} = \frac{m(m-3n)}{(m+n)^2} $$ Выражение упрощено. Теперь подставим значения $m = \frac{1}{5}$ и $n = \frac{4}{5}$: $$ \frac{\frac{1}{5} \left( \frac{1}{5} - 3 \cdot \frac{4}{5} \right)}{\left( \frac{1}{5} + \frac{4}{5} \right)^2} $$ Сначала посчитаем выражения в скобках: $$ \frac{1}{5} - 3 \cdot \frac{4}{5} = \frac{1}{5} - \frac{12}{5} = -\frac{11}{5} $$ $$ \frac{1}{5} + \frac{4}{5} = \frac{5}{5} = 1 $$ Теперь подставим эти результаты обратно в выражение: $$ \frac{\frac{1}{5} \left( -\frac{11}{5} \right)}{(1)^2} = \frac{-\frac{11}{25}}{1} = -\frac{11}{25} $$ **Ответ: $-\frac{11}{25}$**