Найди значения $ \cos t, \text{tg } t, \text{ctg } t $, если $ \sin t = \frac{8}{17}, t \in \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right) $.

**П.3. Найдите значения $ \cos t, \text{tg } t, \text{ctg } t $, если:** **а) $ \sin t = \frac{8}{17}, t \in \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right) $** Сначала найдём $ \cos t $. Мы знаем, что $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $. Отсюда $ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t $. $$ \cos^2 t = 1 - \left( \frac{8}{17} \right)^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289 - 64}{289} = \frac{225}{289} $$ Значит, $ \cos t = \pm \sqrt{\frac{225}{289}} = \pm \frac{15}{17} $. Поскольку $ t \in \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right) $, это значит, что угол $t$ находится во второй четверти. Во второй четверти косинус отрицательный. Поэтому $ \cos t = -\frac{15}{17} $. Теперь найдём тангенс: $ \text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} $. $$ \text{tg } t = \frac{\frac{8}{17}}{-\frac{15}{17}} = -\frac{8}{15} $$ И котангенс: $ \text{ctg } t = \frac{\cos t}{\sin t} $ или $ \text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} $. $$ \text{ctg } t = \frac{1}{-\frac{8}{15}} = -\frac{15}{8} $$ **Ответ: $ \cos t = -\frac{15}{17}, \text{tg } t = -\frac{8}{15}, \text{ctg } t = -\frac{15}{8} $** **б) $ \sin t = -\frac{7}{25}, t \in \left( -\frac{\pi}{2}; 0 \right) $** Сначала найдём $ \cos t $. $$ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - \left( -\frac{7}{25} \right)^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625} $$ Значит, $ \cos t = \pm \sqrt{\frac{576}{625}} = \pm \frac{24}{25} $. Поскольку $ t \in \left( -\frac{\pi}{2}; 0 \right) $, это значит, что угол $t$ находится в четвёртой четверти. В четвёртой четверти косинус положительный. Поэтому $ \cos t = \frac{24}{25} $. Теперь найдём тангенс: $$ \text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-\frac{7}{25}}{\frac{24}{25}} = -\frac{7}{24} $$ И котангенс: $$ \text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{1}{-\frac{7}{24}} = -\frac{24}{7} $$ **Ответ: $ \cos t = \frac{24}{25}, \text{tg } t = -\frac{7}{24}, \text{ctg } t = -\frac{24}{7} $** **в) $ \sin t = \frac{9}{41}, t \in \left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right) $** Обрати внимание, что интервал $ \left( \frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2} \right) $ включает в себя вторую и третью четверти. Так как $ \sin t = \frac{9}{41} $ положительный, угол $t$ может быть только во второй четверти (потому что в третьей четверти синус отрицательный). Значит, $ t \in \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right) $. Сначала найдём $ \cos t $. $$ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - \left( \frac{9}{41} \right)^2 = 1 - \frac{81}{1681} = \frac{1681 - 81}{1681} = \frac{1600}{1681} $$ Значит, $ \cos t = \pm \sqrt{\frac{1600}{1681}} = \pm \frac{40}{41} $. Поскольку $ t $ находится во второй четверти, косинус отрицательный. Поэтому $ \cos t = -\frac{40}{41} $. Теперь найдём тангенс: $$ \text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\frac{9}{41}}{-\frac{40}{41}} = -\frac{9}{40} $$ И котангенс: $$ \text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{1}{-\frac{9}{40}} = -\frac{40}{9} $$ **Ответ: $ \cos t = -\frac{40}{41}, \text{tg } t = -\frac{9}{40}, \text{ctg } t = -\frac{40}{9} $** **г) $ \sin t = \frac{35}{37}, t \in \left( \pi; \frac{3\pi}{2} \right) $** По условию, $ \sin t = \frac{35}{37} $ (положительное число), но $ t \in \left( \pi; \frac{3\pi}{2} \right) $ — это третья четверть, где синус всегда отрицательный. **Допущение: Скорее всего, в условии опечатка, и либо $ \sin t $ должно быть отрицательным, либо интервал для $t$ должен быть другим. Я буду решать задачу, предполагая, что $ t $ находится в первой или второй четверти, где синус положительный. Если же интервал верен, то такой угол $t$ не существует.** Давай предположим, что $ t $ находится во второй четверти, то есть $ t \in \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right) $. Это позволит $ \sin t $ быть положительным. Сначала найдём $ \cos t $. $$ \cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - \left( \frac{35}{37} \right)^2 = 1 - \frac{1225}{1369} = \frac{1369 - 1225}{1369} = \frac{144}{1369} $$ Значит, $ \cos t = \pm \sqrt{\frac{144}{1369}} = \pm \frac{12}{37} $. Так как мы предположили, что $ t $ во второй четверти, косинус отрицательный. Поэтому $ \cos t = -\frac{12}{37} $. Теперь найдём тангенс: $$ \text{tg } t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\frac{35}{37}}{-\frac{12}{37}} = -\frac{35}{12} $$ И котангенс: $$ \text{ctg } t = \frac{1}{\text{tg } t} = \frac{1}{-\frac{35}{12}} = -\frac{12}{35} $$ **Ответ: $ \cos t = -\frac{12}{37}, \text{tg } t = -\frac{35}{12}, \text{ctg } t = -\frac{12}{35} $** Если бы мы строго следовали условию $ t \in \left( \pi; \frac{3\pi}{2} \right) $, то ответ был бы: "Такой угол $t$ не существует, так как $ \sin t $ в третьей четверти должен быть отрицательным, а по условию он положительный."