Докажи, что выпуклый четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом, если: а) $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle DAC$; б) $AB \parallel CD$, $\angle A = \angle C$.

Привет! Давай докажем, что четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм. ### Пункт а) Нам дано, что $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle DAC$. Помнишь, что такое накрест лежащие углы? Это углы, которые образуются, когда две прямые пересекает третья (секущая). Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 1. Углы $\angle BAC$ и $\angle ACD$ — это накрест лежащие углы при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Так как они равны, то $AB \parallel CD$. Это значит, что стороны $AB$ и $CD$ параллельны. 2. Углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ — это накрест лежащие углы при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$. Так как они равны, то $BC \parallel AD$. Это значит, что стороны $BC$ и $AD$ параллельны. Мы получили, что у четырёхугольника $ABCD$ обе пары противоположных сторон параллельны ($AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$). По определению, четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. **Вывод:** $ABCD$ — параллелограмм. ### Пункт б) Нам дано, что $AB \parallel CD$ и $\angle A = \angle C$. 1. Мы уже знаем, что $AB \parallel CD$. Это означает, что одна пара противоположных сторон параллельна. 2. Теперь давай используем свойство углов. В параллелограмме противоположные углы равны. Если у четырёхугольника одна пара противоположных сторон параллельна и углы, прилегающие к одной из этих сторон, особенные, то это может быть параллелограмм. Давай рассмотрим треугольники $ABC$ и $CDA$. У них есть общая сторона $AC$. Если $AB \parallel CD$, то, как мы уже говорили, накрест лежащие углы равны. Значит, $\angle BAC = \angle DCA$. Теперь у нас есть: * $\angle BAC = \angle DCA$ (из-за параллельности $AB \parallel CD$) * $\angle A = \angle C$ (дано в условии) Поскольку $\angle A = \angle BAC + \angle DAC$ и $\angle C = \angle BCA + \angle DCA$, мы можем подставить известные равенства: $\angle BAC + \angle DAC = \angle BCA + \angle DCA$ Так как $\angle BAC = \angle DCA$, мы можем вычесть их из обеих частей равенства: $\angle DAC = \angle BCA$ У нас получилось, что $\angle DAC = \angle BCA$. Это накрест лежащие углы при прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны! Значит, $AD \parallel BC$. Мы доказали, что $AD \parallel BC$ и $AB \parallel CD$. То есть, обе пары противоположных сторон параллельны. Значит, $ABCD$ — параллелограмм. **Вывод:** $ABCD$ — параллелограмм.