Упрости выражения: 2a(5a - 7) - 5a(3 - 2a)

Привет! Давай вместе упростим эти выражения. Это как собирать конструктор: нужно правильно раскрыть скобки и сгруппировать похожие детали. 1) $2a(5a - 7) - 5a(3 - 2a)$; Сначала раскроем скобки. Умножим $2a$ на каждое число в первой скобке, а потом $-5a$ на каждое число во второй скобке: $$2a \cdot 5a - 2a \cdot 7 - 5a \cdot 3 - 5a \cdot (-2a)$$ $$10a^2 - 14a - 15a + 10a^2$$ Теперь соберём вместе похожие слагаемые ($a^2$ с $a^2$ и $a$ с $a$): $$ (10a^2 + 10a^2) + (-14a - 15a) $$ $$ 20a^2 - 29a $$ **Ответ: $20a^2 - 29a$** 2) $(2b - 3)(4b + 9)$; Здесь нужно умножить каждое число из первой скобки на каждое число из второй скобки: $$ 2b \cdot 4b + 2b \cdot 9 - 3 \cdot 4b - 3 \cdot 9 $$ $$ 8b^2 + 18b - 12b - 27 $$ Теперь соберём вместе похожие слагаемые ($b$ с $b$): $$ 8b^2 + (18b - 12b) - 27 $$ $$ 8b^2 + 6b - 27 $$ **Ответ: $8b^2 + 6b - 27$** 3) $(2c - 6)(8c + 5) - (5c + 2)(5c - 2)$; Это выражение состоит из двух частей, которые нужно упростить отдельно, а потом вычесть. Помни, что $(5c + 2)(5c - 2)$ — это формула разности квадратов $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$. Сначала первая часть: $(2c - 6)(8c + 5)$ $$ 2c \cdot 8c + 2c \cdot 5 - 6 \cdot 8c - 6 \cdot 5 $$ $$ 16c^2 + 10c - 48c - 30 $$ $$ 16c^2 - 38c - 30 $$ Теперь вторая часть: $(5c + 2)(5c - 2)$. Используем формулу разности квадратов: $$ (5c)^2 - 2^2 $$ $$ 25c^2 - 4 $$ Теперь вычтем вторую часть из первой. Будь внимателен со знаками, когда раскрываешь скобки после минуса: $$ (16c^2 - 38c - 30) - (25c^2 - 4) $$ $$ 16c^2 - 38c - 30 - 25c^2 + 4 $$ Соберём вместе похожие слагаемые: $$ (16c^2 - 25c^2) - 38c + (-30 + 4) $$ $$ -9c^2 - 38c - 26 $$ **Ответ: $-9c^2 - 38c - 26$** 4) $16m^2 - (3 - 4m)(3 + 4m)$; Здесь тоже есть формула разности квадратов $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$. В нашем случае $A=3$, $B=4m$. $$ 16m^2 - (3^2 - (4m)^2) $$ $$ 16m^2 - (9 - 16m^2) $$ Раскроем скобки, меняя знаки, потому что перед скобками стоит минус: $$ 16m^2 - 9 + 16m^2 $$ Соберём вместе похожие слагаемые: $$ (16m^2 + 16m^2) - 9 $$ $$ 32m^2 - 9 $$ **Ответ: $32m^2 - 9$** 5) $(2x - 1)^2 + (2x + 1)^2$; Здесь нужно использовать формулы квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ и квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$. Для $(2x - 1)^2$: $A=2x$, $B=1$ $$ (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 $$ $$ 4x^2 - 4x + 1 $$ Для $(2x + 1)^2$: $A=2x$, $B=1$ $$ (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 $$ $$ 4x^2 + 4x + 1 $$ Теперь сложим эти два выражения: $$ (4x^2 - 4x + 1) + (4x^2 + 4x + 1) $$ $$ 4x^2 - 4x + 1 + 4x^2 + 4x + 1 $$ Соберём вместе похожие слагаемые: $$ (4x^2 + 4x^2) + (-4x + 4x) + (1 + 1) $$ $$ 8x^2 + 0 + 2 $$ $$ 8x^2 + 2 $$ **Ответ: $8x^2 + 2$** 6) $(x - 4)(x + 4) - (x - 8)^2$. Здесь мы опять видим формулу разности квадратов $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$ для первой части и формулу квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ для второй части. Для $(x - 4)(x + 4)$: $A=x$, $B=4$ $$ x^2 - 4^2 $$ $$ x^2 - 16 $$ Для $(x - 8)^2$: $A=x$, $B=8$ $$ x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 $$ $$ x^2 - 16x + 64 $$ Теперь вычтем вторую часть из первой. Будь внимателен со знаками после минуса: $$ (x^2 - 16) - (x^2 - 16x + 64) $$ $$ x^2 - 16 - x^2 + 16x - 64 $$ Соберём вместе похожие слагаемые: $$ (x^2 - x^2) + 16x + (-16 - 64) $$ $$ 0 + 16x - 80 $$ $$ 16x - 80 $$ **Ответ: $16x - 80$**