Преобразуй в многочлен (x - 2y)(x + 2y) + 4y^2

Привет! Давай разберёмся с этими многочленами. Задание 902 просит нас преобразовать выражения в многочлен. Это значит, что нам нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. а) $(x - 2y)(x + 2y) + 4y^2$ Здесь мы видим формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a=x$, а $b=2y$. Значит, $(x - 2y)(x + 2y) = x^2 - (2y)^2 = x^2 - 4y^2$. Теперь подставим это обратно в выражение: $$x^2 - 4y^2 + 4y^2$$ $-4y^2$ и $+4y^2$ взаимно уничтожаются. **Ответ: $x^2$** б) $(2a - 3b)(2a + 3b) - 3a^2$ И снова используем формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Здесь $a=2a$, а $b=3b$. Значит, $(2a - 3b)(2a + 3b) = (2a)^2 - (3b)^2 = 4a^2 - 9b^2$. Подставим в выражение: $$4a^2 - 9b^2 - 3a^2$$ Приведём подобные слагаемые ($4a^2$ и $-3a^2$): $$ (4a^2 - 3a^2) - 9b^2 = a^2 - 9b^2 $$ **Ответ: $a^2 - 9b^2$** в) $(5x - 1)^2 + 10x$ Здесь нам пригодится формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=5x$, а $b=1$. Раскрываем скобки: $$(5x - 1)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot (5x) \cdot 1 + 1^2 = 25x^2 - 10x + 1$$ Теперь подставляем это в исходное выражение: $$25x^2 - 10x + 1 + 10x$$ $-10x$ и $+10x$ взаимно уничтожаются. **Ответ: $25x^2 + 1$** г) $(3y + 4z)^2 - 8z(3y - 2z)$ Сначала раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a=3y$, $b=4z$. $$(3y + 4z)^2 = (3y)^2 + 2 \cdot (3y) \cdot (4z) + (4z)^2 = 9y^2 + 24yz + 16z^2$$ Теперь раскроем вторую часть выражения, умножая $-8z$ на каждое слагаемое в скобках: $$-8z(3y - 2z) = -8z \cdot 3y - 8z \cdot (-2z) = -24yz + 16z^2$$ Теперь соединим все части: $$9y^2 + 24yz + 16z^2 - 24yz + 16z^2$$ Приведём подобные слагаемые ($24yz$ и $-24yz$, а также $16z^2$ и $16z^2$): $$9y^2 + (24yz - 24yz) + (16z^2 + 16z^2) = 9y^2 + 0 + 32z^2 = 9y^2 + 32z^2$$ **Ответ: $9y^2 + 32z^2$** д) $(m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) + 6n^3$ Здесь мы видим формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$. В нашем случае $a=m$, а $b=2n$. Значит, $(m - 2n)(m^2 + 2mn + 4n^2) = m^3 - (2n)^3 = m^3 - 8n^3$. Теперь подставим это обратно в выражение: $$m^3 - 8n^3 + 6n^3$$ Приведём подобные слагаемые ($-8n^3$ и $6n^3$): $$m^3 + (-8n^3 + 6n^3) = m^3 - 2n^3$$ **Ответ: $m^3 - 2n^3$** е) $(c^2 + 4d)(c^4 - 4c^2d + 16d^2) - c^2(c^4 - 1)$ Сначала разберёмся с первой частью: $(c^2 + 4d)(c^4 - 4c^2d + 16d^2)$. Это похоже на формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. В нашем случае $a=c^2$, а $b=4d$. Значит, $(c^2 + 4d)((c^2)^2 - c^2 \cdot 4d + (4d)^2) = (c^2)^3 + (4d)^3 = c^6 + 64d^3$. Теперь раскроем вторую часть: $-c^2(c^4 - 1)$. Умножим $-c^2$ на каждое слагаемое в скобках: $$-c^2(c^4 - 1) = -c^2 \cdot c^4 - c^2 \cdot (-1) = -c^6 + c^2$$ Теперь соединим все части: $$c^6 + 64d^3 - c^6 + c^2$$ Приведём подобные слагаемые ($c^6$ и $-c^6$): $$(c^6 - c^6) + 64d^3 + c^2 = 0 + 64d^3 + c^2 = 64d^3 + c^2$$ **Ответ: $c^2 + 64d^3$** ж) $(3x - 4y)^2 - (2x - 7y)(4x + 2y)$ Раскроем первую скобку по формуле квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a=3x$, $b=4y$. $$(3x - 4y)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (4y) + (4y)^2 = 9x^2 - 24xy + 16y^2$$ Теперь раскроем произведение двух скобок $(2x - 7y)(4x + 2y)$: $$(2x - 7y)(4x + 2y) = 2x \cdot 4x + 2x \cdot 2y - 7y \cdot 4x - 7y \cdot 2y$$ $$= 8x^2 + 4xy - 28xy - 14y^2$$ $$= 8x^2 - 24xy - 14y^2$$ Теперь подставим всё обратно в исходное выражение, не забывая про минус перед второй частью: $$9x^2 - 24xy + 16y^2 - (8x^2 - 24xy - 14y^2)$$ Раскроем скобки, меняя знаки внутри: $$9x^2 - 24xy + 16y^2 - 8x^2 + 24xy + 14y^2$$ Приведём подобные слагаемые: $$(9x^2 - 8x^2) + (-24xy + 24xy) + (16y^2 + 14y^2)$$ $$= x^2 + 0 + 30y^2 = x^2 + 30y^2$$ **Ответ: $x^2 + 30y^2$** з) $2x(2x + 3)^2 - (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)$ Сначала разберёмся с первой частью: $2x(2x + 3)^2$. Раскроем квадрат суммы $(2x+3)^2$: $(2x+3)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$. Теперь умножим на $2x$: $$2x(4x^2 + 12x + 9) = 2x \cdot 4x^2 + 2x \cdot 12x + 2x \cdot 9 = 8x^3 + 24x^2 + 18x$$ Теперь разберёмся со второй частью: $(2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)$. Это похоже на формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$. В нашем случае $a=2x$, а $b=3$. Значит, $(2x - 3)((2x)^2 + 2x \cdot 3 + 3^2) = (2x)^3 - 3^3 = 8x^3 - 27$. Теперь подставим обе части обратно в исходное выражение, не забывая про минус: $$8x^3 + 24x^2 + 18x - (8x^3 - 27)$$ Раскроем скобки, меняя знаки: $$8x^3 + 24x^2 + 18x - 8x^3 + 27$$ Приведём подобные слагаемые ($8x^3$ и $-8x^3$): $$(8x^3 - 8x^3) + 24x^2 + 18x + 27 = 0 + 24x^2 + 18x + 27 = 24x^2 + 18x + 27$$ **Ответ: $24x^2 + 18x + 27$**