Какие из выражений $\frac{a^2 - 2ab}{12}$, $(c + 3)^2 + \frac{2}{c}$, $\frac{1}{3} a^2b$, $(x - y)^2 - 4xy$, $\frac{m + 3}{m - 3}$, $\frac{8}{x^2 + y^2}$ являются целыми, а какие — дробными?

Привет! Давай разберемся с этими заданиями по алгебре. ### Упражнения **1. Какие из выражений являются целыми, а какие — дробными?** Чтобы понять, целое выражение или дробное, нужно посмотреть, есть ли в нём деление на переменную. Если есть переменная в знаменателе (то есть внизу дроби), то выражение дробное. Если нет — целое. * $\frac{a^2 - 2ab}{12}$ — Это **целое** выражение, потому что в знаменателе (внизу) стоит просто число 12, а не переменная. * $(c + 3)^2 + \frac{2}{c}$ — Это **дробное** выражение, потому что есть $\frac{2}{c}$, где переменная $c$ стоит в знаменателе. * $\frac{1}{3} a^2b$ — Это **целое** выражение, так как здесь умножение на $\frac{1}{3}$, а не деление на переменную. * $(x - y)^2 - 4xy$ — Это **целое** выражение, здесь нет деления на переменные. * $\frac{m + 3}{m - 3}$ — Это **дробное** выражение, потому что в знаменателе $(m - 3)$ есть переменная $m$. * $\frac{8}{x^2 + y^2}$ — Это **дробное** выражение, потому что в знаменателе $(x^2 + y^2)$ есть переменные $x$ и $y$. **2. Из рациональных выражений $7x^2 - 2xy$, $\frac{a}{9}$, $\frac{12}{b}$, $a(a - b) - 8$, $\frac{1}{4} m^2 - \frac{1}{3} n^2$, $\frac{a + 3}{a - 3}$ выпишите те, которые являются:** Помни: рациональное выражение может быть как целым, так и дробным. а) **целыми выражениями:** Это те, у которых нет переменных в знаменателе. * $7x^2 - 2xy$ * $\frac{a}{9}$ (Здесь в знаменателе число 9, а не переменная) * $a(a - b) - 8$ * $\frac{1}{4} m^2 - \frac{1}{3} n^2$ б) **дробными выражениями:** Это те, у которых есть переменная в знаменателе. * $\frac{12}{b}$ * $\frac{a + 3}{a - 3}$ **3. Найдите значение дроби $\frac{y - 1}{4}$ при $y = 3; 1; -5; \frac{1}{2}; -1,6; 100.$** Просто подставляем каждое значение $y$ в дробь: * При $y = 3$: $\frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$ * При $y = 1$: $\frac{1 - 1}{4} = \frac{0}{4} = 0$ * При $y = -5$: $\frac{-5 - 1}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} = -1,5$ * При $y = \frac{1}{2}$: $\frac{\frac{1}{2} - 1}{4} = \frac{-\frac{1}{2}}{4} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{8} = -0,125$ * При $y = -1,6$: $\frac{-1,6 - 1}{4} = \frac{-2,6}{4} = -0,65$ * При $y = 100$: $\frac{100 - 1}{4} = \frac{99}{4} = 24,75$ **4. Найдите значение дроби:** а) $\frac{a - 8}{2a + 5}$ при $a = -2$ Подставляем $a = -2$: $$\frac{-2 - 8}{2(-2) + 5} = \frac{-10}{-4 + 5} = \frac{-10}{1} = -10$$ **Ответ: -10** б) $\frac{b^2 + 6}{2b}$ при $b = 3$ Подставляем $b = 3$: $$\frac{3^2 + 6}{2(3)} = \frac{9 + 6}{6} = \frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2,5$$ **Ответ: 2,5** **5. Чему равно значение дроби $\frac{(a + b)^2 - 1}{a^2 + 1}$ при:** а) $a = -3, b = -1$ Подставляем $a = -3$ и $b = -1$: $$\frac{(-3 + (-1))^2 - 1}{(-3)^2 + 1} = \frac{(-4)^2 - 1}{9 + 1} = \frac{16 - 1}{10} = \frac{15}{10} = 1,5$$ **Ответ: 1,5** б) $a = 1\frac{1}{2}, b = 0,5$ Сначала переведем $a$ в десятичную дробь: $1\frac{1}{2} = 1,5$. Теперь подставляем $a = 1,5$ и $b = 0,5$: $$\frac{(1,5 + 0,5)^2 - 1}{(1,5)^2 + 1} = \frac{(2)^2 - 1}{2,25 + 1} = \frac{4 - 1}{3,25} = \frac{3}{3,25}$$ Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 100: $$\frac{3 \cdot 100}{3,25 \cdot 100} = \frac{300}{325}$$ Теперь сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на общий делитель, например, на 25: $$\frac{300 \div 25}{325 \div 25} = \frac{12}{13}$$ **Ответ: $\frac{12}{13}$**