Проверь, выполнив деление, что верно равенство: а) 2,(3) = 2 1/3

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями про рациональные числа. Это числа, которые можно записать как обыкновенную дробь. **Задание 9.** Проверить равенства: а) $2,(3) = 2\frac{1}{3}$ Чтобы проверить, переведём периодическую дробь $2,(3)$ в обыкновенную. Цифра 3 повторяется, поэтому запишем как $2\frac{3}{9}$, что можно сократить. $2,(3) = 2 + \frac{3}{9} = 2 + \frac{1}{3} = 2\frac{1}{3}$ Равенство верно. б) $0,(16) = \frac{1}{6}$ Переведём периодическую дробь $0,(16)$ в обыкновенную. Две цифры (16) повторяются, поэтому запишем так: $0,(16) = \frac{16}{99}$ Теперь сравним $\frac{16}{99}$ и $\frac{1}{6}$. Для этого приведём их к общему знаменателю или разделим 1 на 6: $$\begin{array}{cc|l} 1 & 0 & 6 \\ \hline 6 & & 0,166 \\ \hline 4 & 0 \\ 3 & 6 \\ \hline & 4 & 0 \\ & 3 & 6 \\ \hline & & 4 \end{array}$$ Мы видим, что $\frac{1}{6} = 0,166... = 0,1(6)$. А у нас $0,(16) = 0,1616...$. Это не одно и то же. Равенство неверно. в) $7,(18) = 7\frac{2}{11}$ Переведём периодическую дробь $7,(18)$ в обыкновенную. Две цифры (18) повторяются, поэтому запишем как $7\frac{18}{99}$. Сократим дробь $\frac{18}{99}$ на 9: $\frac{18}{99} = \frac{18 \div 9}{99 \div 9} = \frac{2}{11}$ Значит, $7,(18) = 7\frac{2}{11}$. Равенство верно. г) $3,4(6) = 3\frac{7}{15}$ Переведём смешанную периодическую дробь $3,4(6)$ в обыкновенную. Сначала представим как $3 + 0,4(6)$. $0,4(6) = \frac{46-4}{90} = \frac{42}{90}$ Сократим дробь $\frac{42}{90}$ на 6: $\frac{42}{90} = \frac{42 \div 6}{90 \div 6} = \frac{7}{15}$ Значит, $3,4(6) = 3\frac{7}{15}$. Равенство верно. **Ответ:** а) верно б) неверно в) верно г) верно **Задание 10.** Докажите, что разность, произведение и частное двух рациональных чисел (делитель отличен от нуля) — числа рациональные. Давай вспомним, что рациональное число — это любое число, которое можно записать в виде дроби $\frac{a}{b}$, где $a$ — целое число, а $b$ — натуральное число (то есть целое и не равное нулю). Пусть у нас есть два рациональных числа: $X = \frac{a}{b}$ и $Y = \frac{c}{d}$, где $a, c$ — целые числа, а $b, d$ — натуральные числа (не равны нулю). 1. **Разность рациональных чисел:** $X - Y = \frac{a}{b} - \frac{c}{d}$ Чтобы вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю, например $bd$: $X - Y = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} - \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{ad - cb}{bd}$ Так как $a, d, c, b$ — целые числа, то $ad - cb$ тоже будет целым числом. А $bd$ — это произведение двух натуральных чисел, значит, оно тоже натуральное (и не равно нулю). Следовательно, разность $X - Y$ можно записать в виде дроби, где числитель целое, а знаменатель натуральное (не ноль). Значит, разность двух рациональных чисел — это **рациональное число**. 2. **Произведение рациональных чисел:** $X \cdot Y = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}$ Чтобы умножить дроби, нужно перемножить их числители и их знаменатели: $X \cdot Y = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} = \frac{ac}{bd}$ Так как $a, c$ — целые числа, то $ac$ будет целым числом. А $b, d$ — натуральные числа (не ноль), поэтому $bd$ тоже натуральное число (не ноль). Значит, произведение $X \cdot Y$ можно записать в виде дроби, где числитель целое, а знаменатель натуральное (не ноль). Следовательно, произведение двух рациональных чисел — это **рациональное число**. 3. **Частное рациональных чисел (делитель отличен от нуля):** $X \div Y = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$ Деление на дробь — это умножение на обратную дробь. Так как $Y$ — рациональное число и не равно нулю, то $c$ не равно нулю. $X \div Y = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} = \frac{ad}{bc}$ Так как $a, d$ — целые числа, то $ad$ будет целым числом. А $b$ — натуральное число (не ноль) и $c$ — целое число (не ноль). Их произведение $bc$ будет целым числом и не равным нулю. Значит, частное $X \div Y$ можно записать в виде дроби, где числитель целое, а знаменатель целое (не ноль). Следовательно, частное двух рациональных чисел (при условии, что делитель не равен нулю) — это **рациональное число**. **Вывод:** Мы доказали, что разность, произведение и частное (если делитель не ноль) двух рациональных чисел всегда являются рациональными числами.