**21. Представьте в виде произведения выражения:**
Чтобы представить выражение в виде произведения, мы будем группировать члены и выносить общий множитель.
1) $ab - ac + bd - cd$
Смотри, в первых двух членах $ab - ac$ есть общая буква $a$. А в следующих двух членах $bd - cd$ есть общая буква $d$. Давай вынесем их за скобки!
$ab - ac + bd - cd = a(b - c) + d(b - c)$
Теперь у нас получилось два слагаемых, и в каждом из них есть одинаковая скобочка $(b-c)$. Вынесем её как общий множитель:
$a(b - c) + d(b - c) = (b - c)(a + d)$
**Ответ:** $(b - c)(a + d)$
2) $3m + 3n - mx - nx$
Здесь тоже похожая ситуация! В $3m + 3n$ общий множитель — это $3$. А в $-mx - nx$ можно вынести $-x$. Будь внимателен со знаками!
$3m + 3n - mx - nx = 3(m + n) - x(m + n)$
И снова у нас есть общая скобочка $(m+n)$. Вынесем её:
$3(m + n) - x(m + n) = (m + n)(3 - x)$
**Ответ:** $(m + n)(3 - x)$
3) $a^5 + a^3 + 2a^2 + 2$
В первых двух слагаемых $a^5 + a^3$ можно вынести $a^3$. А во вторых двух слагаемых $2a^2 + 2$ можно вынести $2$.
$a^5 + a^3 + 2a^2 + 2 = a^3(a^2 + 1) + 2(a^2 + 1)$
У нас опять получилась одинаковая скобка $(a^2 + 1)$, которую мы можем вынести:
$a^3(a^2 + 1) + 2(a^2 + 1) = (a^2 + 1)(a^3 + 2)$
**Ответ:** $(a^2 + 1)(a^3 + 2)$
4) $8a^2b - 2a^2 - 4b^2 + b$
Это выражение немного хитрее. Нужно найти правильные пары, чтобы вынести общие множители. Давай попробуем сгруппировать $8a^2b - 2a^2$ и $-4b^2 + b$.
В первой группе $8a^2b - 2a^2$ общий множитель $2a^2$.
Во второй группе $-4b^2 + b$ общий множитель $b$.
$8a^2b - 2a^2 - 4b^2 + b = 2a^2(4b - 1) + b(-4b + 1)$
Видишь, скобки почти одинаковые, только знаки разные! $(4b - 1)$ и $(-4b + 1)$. Чтобы сделать их одинаковыми, вынесем $-1$ из второй скобки:
$2a^2(4b - 1) - b(4b - 1)$
Теперь у нас есть общая скобка $(4b - 1)$. Вынесем её:
$2a^2(4b - 1) - b(4b - 1) = (4b - 1)(2a^2 - b)$
**Ответ:** $(4b - 1)(2a^2 - b)$
**22. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена:**
Чтобы представить трёхчлен в виде квадрата двучлена, мы будем использовать формулы сокращённого умножения: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ или $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
1) $a^2 - 8a + 16$
Это похоже на формулу $(x-y)^2$. У нас есть $a^2$ (это $x^2$), и $16$ (это $y^2$, потому что $4^2 = 16$). Проверим средний член: $-2xy = -2 imes a imes 4 = -8a$. Всё совпадает!
$a^2 - 8a + 16 = (a - 4)^2$
**Ответ:** $(a - 4)^2$
2) $9x^2 + 6x + 1$
Здесь $9x^2$ — это $(3x)^2$, а $1$ — это $1^2$. Средний член $2xy = 2 imes (3x) imes 1 = 6x$. Точно подходит под формулу $(x+y)^2$.
$9x^2 + 6x + 1 = (3x + 1)^2$
**Ответ:** $(3x + 1)^2$
3) $40xy + 16x^2 + 25y^2$
Давай сначала переставим члены, чтобы было удобнее смотреть на квадраты: $16x^2 + 40xy + 25y^2$.
Теперь видно, что $16x^2$ — это $(4x)^2$, а $25y^2$ — это $(5y)^2$. Проверим средний член: $2xy = 2 imes (4x) imes (5y) = 40xy$. Всё сошлось!
$16x^2 + 40xy + 25y^2 = (4x + 5y)^2$
**Ответ:** $(4x + 5y)^2$
4) $a^8 - 4a^4b + 4b^2$
Здесь $a^8$ — это $(a^4)^2$, а $4b^2$ — это $(2b)^2$. Проверим средний член: $-2xy = -2 imes (a^4) imes (2b) = -4a^4b$. Снова всё идеально!
$a^8 - 4a^4b + 4b^2 = (a^4 - 2b)^2$
**Ответ:** $(a^4 - 2b)^2$
