Привет! Давай разберемся, как разложить многочлены на множители. Это как собирать конструктор: нужно найти общие детальки и вынести их за скобки. Или, если это формулы, то использовать специальные правила.
### 53. Разложите на множители:
а) $5bc - 5c$
Здесь у нас есть общий множитель $5c$. Выносим его за скобки:
$$5c(b - 1)$$
б) $10n + 15n^2$
Здесь общий множитель $5n$. Выносим его за скобки:
$$5n(2 + 3n)$$
в) $8ab + 12bc$
Общий множитель здесь $4b$. Выносим его за скобки:
$$4b(2a + 3c)$$
г) $5y^2 - 5x + y^2 - xy^2$
Сначала сгруппируем похожие слагаемые. Видим, что у $5y^2$ и $y^2$ есть $y^2$, а у $5x$ и $xy^2$ есть $x$. Попробуем так:
$$5y^2 - 5x + y^2 - xy^2 = (5y^2 + y^2) - (5x + xy^2)$$
Ой, так не очень получается. Давай сгруппируем по-другому, чтобы было удобно выносить общий множитель:
$$(5y^2 + y^2) - (5x + xy^2)$$
Опять не то. А если так?
$$5y^2 - 5x + y^2 - xy^2 = (5y^2 + y^2) - 5x - xy^2$$
Что-то не сходится. Посмотри, есть ли в задании ошибки. Возможно, должно быть $5y^2 - 5x^2y + y^2 - xy^2$ или что-то подобное. Предположим, что в задании опечатка, и оно выглядит как $5y^2 - 5xy + y^2 - xy^2$. Тогда...
**Допущение: В выражении г) опечатка. Будем считать, что там $5y^2 - 5xy + y^2 - xy^2$.**
Тогда:
$$5y^2 - 5xy + y^2 - xy^2 = (5y^2 - 5xy) + (y^2 - xy^2)$$
Выносим общие множители из каждой скобки:
$$5y(y - x) + y^2(1 - x)$$
Видим, что у нас нет общего множителя. Значит, моё предположение об опечатке не помогло. Давай вернёмся к изначальному выражению $5y^2 - 5x + y^2 - xy^2$. Возможно, там опечатка в знаке или в букве. Если я попробую вынести общий множитель, то могу сделать так:
$$(5y^2 + y^2) - 5x - xy^2 = 6y^2 - 5x - xy^2$$
Это не раскладывается дальше на простые множители, если не пользоваться сложными методами.
**Недостаточно данных для точного решения. Пожалуйста, проверь условие для пункта г).**
Давай попробуем решить остальные пункты, которые хорошо видны.
д) $a^2 - 9$
Это формула сокращённого умножения: разность квадратов. $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Здесь $b^2 = 9$, значит $b = 3$.
$$a^2 - 3^2 = (a - 3)(a + 3)$$
е) $x^2 + 10x + 25$
Это тоже формула! Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a = x$, а $b^2 = 25$, значит $b = 5$. Проверим средний член: $2ab = 2 imes x imes 5 = 10x$. Всё сходится!
$$(x + 5)^2$$
ж) $y^3 - 2y + 1$
Это сложнее. Если мы подставим $y=1$, то $1^3 - 2(1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0$. Это значит, что $(y-1)$ является одним из множителей. Чтобы найти остальные, нужно разделить $y^3 - 2y + 1$ на $(y-1)$.
Используем деление многочленов уголком:
$$\begin{array}{r|l} y^3 ext{ } - 2y + 1 & y - 1 \ \ ?rac{-(y^3 - y^2)}{y^2 - 2y} & y^2 + y - 1 \ \ ?rac{-(y^2 - y)}{-y + 1} \ \ ?rac{-(-y + 1)}{0} \ \ \end{array}$$
Значит, $y^3 - 2y + 1 = (y - 1)(y^2 + y - 1)$.
**Ответ:**
а) $5c(b - 1)$
б) $5n(2 + 3n)$
в) $4b(2a + 3c)$
г) **Недостаточно данных для точного решения. Проверь, пожалуйста, условие.**
д) $(a - 3)(a + 3)$
е) $(x + 5)^2$
ж) $(y - 1)(y^2 + y - 1)$
и) $b^3 - 1$
Это формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$. Здесь $a=b$, а $1 = 1^3$.
$$(b - 1)(b^2 + b + 1)$$
