Реши уравнение sin 2x cos x - 3 sin^2 x = 0

Привет! Давай разберемся с этим уравнением вместе. Это тригонометрическое уравнение, и чтобы его решить, нам нужно использовать некоторые формулы. У нас есть уравнение: $$ \sin 2x \cos x - 3 \sin^2 x = 0 $$ Первым делом давай вспомним формулу синуса двойного угла: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. Подставим эту формулу в наше уравнение: $$ 2 \sin x \cos x \cdot \cos x - 3 \sin^2 x = 0 $$ Теперь упростим выражение: $$ 2 \sin x \cos^2 x - 3 \sin^2 x = 0 $$ Видишь, что у нас есть общий множитель $\sin x$ в обоих частях? Давай вынесем его за скобки: $$ \sin x (2 \cos^2 x - 3 \sin x) = 0 $$ Теперь у нас получилось произведение двух множителей, которое равно нулю. Это значит, что либо первый множитель равен нулю, либо второй. **Случай 1:** $\sin x = 0$ Это простое тригонометрическое уравнение. Синус равен нулю, когда угол равен $0, \pi, 2\pi$, и так далее. То есть: $$ x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ **Случай 2:** $2 \cos^2 x - 3 \sin x = 0$ Чтобы решить это уравнение, нам нужно привести всё к одной тригонометрической функции. Мы знаем, что $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. Давай подставим это в наше уравнение: $$ 2 (1 - \sin^2 x) - 3 \sin x = 0 $$ Раскроем скобки: $$ 2 - 2 \sin^2 x - 3 \sin x = 0 $$ Давай упорядочим члены уравнения и умножим всё на -1, чтобы коэффициент при $\sin^2 x$ был положительным: $$ 2 \sin^2 x + 3 \sin x - 2 = 0 $$ Теперь мы можем сделать замену переменной, чтобы решить это как обычное квадратное уравнение. Пусть $y = \sin x$. Тогда уравнение примет вид: $$ 2y^2 + 3y - 2 = 0 $$ Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$): $$ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 $$ Теперь найдём корни $y_1$ и $y_2$: $$ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$ $$ y_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$ $$ y_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2 $$ Теперь вернёмся к нашей замене $y = \sin x$. **Подслучай 2.1:** $\sin x = \frac{1}{2}$ Это стандартное значение. Синус равен $\frac{1}{2}$ при угле $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$. А так как синус периодичен, то общие решения будут: $$ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ **Подслучай 2.2:** $\sin x = -2$ Здесь нужно вспомнить, что значения синуса всегда находятся в диапазоне от -1 до 1 (включительно). Так как -2 не входит в этот диапазон, у этого уравнения нет решений. Итак, объединяем все решения, которые мы нашли. **Ответ:** $$ x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$