Найди $\sin \alpha$, если $\cos \alpha = \frac{1}{2}$

Привет! Чтобы найти $\sin \alpha$, если известен $\cos \alpha$, мы можем использовать основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Давай решим каждое задание по очереди: а) Дано: $\cos \alpha = \frac{1}{2}$ Подставляем значение $\cos \alpha$ в тождество: $$ \sin^2 \alpha + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 $$ $$ \sin^2 \alpha + \frac{1}{4} = 1 $$ Вычитаем $\frac{1}{4}$ из обеих частей уравнения: $$ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{4} $$ $$ \sin^2 \alpha = \frac{3}{4} $$ Теперь извлекаем квадратный корень: $$ \sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} $$ $$ \sin \alpha = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} $$ **Ответ: $\sin \alpha = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$** б) Дано: $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$ Подставляем значение $\cos \alpha$ в тождество: $$ \sin^2 \alpha + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1 $$ $$ \sin^2 \alpha + \frac{4}{9} = 1 $$ Вычитаем $\frac{4}{9}$ из обеих частей уравнения: $$ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} $$ $$ \sin^2 \alpha = \frac{5}{9} $$ Теперь извлекаем квадратный корень: $$ \sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{5}{9}} $$ $$ \sin \alpha = \pm\frac{\sqrt{5}}{3} $$ **Ответ: $\sin \alpha = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}$** в) Дано: $\cos \alpha = -1$ Подставляем значение $\cos \alpha$ в тождество: $$ \sin^2 \alpha + (-1)^2 = 1 $$ $$ \sin^2 \alpha + 1 = 1 $$ Вычитаем $1$ из обеих частей уравнения: $$ \sin^2 \alpha = 1 - 1 $$ $$ \sin^2 \alpha = 0 $$ Теперь извлекаем квадратный корень: $$ \sin \alpha = 0 $$ **Ответ: $\sin \alpha = 0$**