M - множество обыкновенных несократимых дробей с однозначным знаменателем, заключëнных между числами 1/9 и 1/2

Привет! Давай разберёмся с этим множеством дробей. Нам нужно найти обыкновенные несократимые дроби, у которых знаменатель — это одна цифра (то есть от 1 до 9), и эти дроби должны быть больше $1/9$, но меньше $1/2$. Давай переберём возможные знаменатели: 1. **Знаменатель 1**: Дроби вида $X/1$. Единственная такая дробь, которая могла бы быть между $1/9$ и $1/2$, — это $0/1$, но это 0. А $1/1 = 1$ — это слишком много. Так что дробей со знаменателем 1 нет. 2. **Знаменатель 2**: Дроби вида $X/2$. Это $1/2$. Она не может быть *между* $1/9$ и $1/2$, потому что она равна $1/2$. Так что и здесь нет. 3. **Знаменатель 3**: Дроби вида $X/3$. * $1/3$ (одна треть). Давай сравним её с $1/9$ и $1/2$. $1/3 = 3/9$ (это больше, чем $1/9$). $1/3 = 2/6$ и $1/2 = 3/6$ (это меньше, чем $1/2$). Значит, $1/3$ подходит! Она несократимая. 4. **Знаменатель 4**: Дроби вида $X/4$. * $1/4$ (одна четверть). $1/4 = 9/36$ и $1/9 = 4/36$ (больше $1/9$). $1/4 = 2/8$ и $1/2 = 4/8$ (меньше $1/2$). Значит, $1/4$ подходит! Она несократимая. * $2/4$ (две четверти) — это $1/2$. Не подходит, потому что она равна $1/2$, а нам нужны дроби *между* числами. 5. **Знаменатель 5**: Дроби вида $X/5$. * $1/5$ (одна пятая). $1/5 = 9/45$ и $1/9 = 5/45$ (больше $1/9$). $1/5 = 2/10$ и $1/2 = 5/10$ (меньше $1/2$). Значит, $1/5$ подходит! Она несократимая. * $2/5$ (две пятых). $2/5 = 18/45$ и $1/9 = 5/45$ (больше $1/9$). $2/5 = 4/10$ и $1/2 = 5/10$ (меньше $1/2$). Значит, $2/5$ подходит! Она несократимая. 6. **Знаменатель 6**: Дроби вида $X/6$. * $1/6$ (одна шестая). $1/6 = 3/18$ и $1/9 = 2/18$ (больше $1/9$). $1/6 = 1/6$ и $1/2 = 3/6$ (меньше $1/2$). Значит, $1/6$ подходит! Она несократимая. * $2/6$ (две шестых) — это $1/3$. Она сократимая, а нам нужны только несократимые. * $3/6$ (три шестых) — это $1/2$. Не подходит. 7. **Знаменатель 7**: Дроби вида $X/7$. * $1/7$ (одна седьмая). $1/7 = 9/63$ и $1/9 = 7/63$ (больше $1/9$). $1/7 \approx 0.14$, $1/2 = 0.5$. Подходит. Или $1/7 = 2/14$ и $1/2 = 7/14$ (меньше $1/2$). Значит, $1/7$ подходит! Она несократимая. * $2/7$ (две седьмых). $2/7 \approx 0.28$. Это больше $1/9$ и меньше $1/2$. Подходит! Она несократимая. * $3/7$ (три седьмых). $3/7 \approx 0.42$. Это больше $1/9$ и меньше $1/2$. Подходит! Она несократимая. 8. **Знаменатель 8**: Дроби вида $X/8$. * $1/8$ (одна восьмая). $1/8 = 9/72$ и $1/9 = 8/72$ (больше $1/9$). $1/8 = 1/8$ и $1/2 = 4/8$ (меньше $1/2$). Значит, $1/8$ подходит! Она несократимая. * $2/8$ (две восьмых) — это $1/4$. Сократимая, не подходит. * $3/8$ (три восьмых). $3/8 = 27/72$ и $1/9 = 8/72$ (больше $1/9$). $3/8 = 3/8$ и $1/2 = 4/8$ (меньше $1/2$). Значит, $3/8$ подходит! Она несократимая. * $4/8$ (четыре восьмых) — это $1/2$. Не подходит. 9. **Знаменатель 9**: Дроби вида $X/9$. * $1/9$ — не подходит, потому что она не *между* $1/9$ и $1/2$, а равна $1/9$. * $2/9$ (две девятых). $2/9 = 4/18$ и $1/2 = 9/18$ (меньше $1/2$). $2/9$ больше $1/9$. Значит, $2/9$ подходит! Она несократимая. * $3/9$ (три девятых) — это $1/3$. Сократимая, не подходит. * $4/9$ (четыре девятых). $4/9 \approx 0.44$. Это больше $1/9$ и меньше $1/2$. Подходит! Она несократимая. Итак, давай соберём все дроби, которые мы нашли: * Со знаменателем 3: $1/3$ * Со знаменателем 4: $1/4$ * Со знаменателем 5: $1/5, 2/5$ * Со знаменателем 6: $1/6$ * Со знаменателем 7: $1/7, 2/7, 3/7$ * Со знаменателем 8: $1/8, 3/8$ * Со знаменателем 9: $2/9, 4/9$ **Ответ:** $$M = \{ \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{2}{9}, \frac{4}{9} \}$$