Упрости выражение $\left(\frac{10}{25-b^2} - \frac{1}{5+b} + \frac{1}{5-b}\right)(25 - 10b + b^2)$

Привет! Давай разберёмся с этими выражениями. Нам нужно их упростить. Для этого мы сначала приведём дроби к общему знаменателю, а потом умножим на выражение в скобках. ### a) $\left(\frac{10}{25-b^2} - \frac{1}{5+b} + \frac{1}{5-b}\right)(25 - 10b + b^2)$ Сначала упростим выражение в первых скобках: 1. Заметим, что $25 - b^2$ — это разность квадратов, её можно записать как $(5-b)(5+b)$. 2. Найдём общий знаменатель для дробей: это будет $(5-b)(5+b)$. 3. Приведём каждую дробь к общему знаменателю: * $\frac{10}{(5-b)(5+b)}$ * $\frac{1 \cdot (5-b)}{(5+b) \cdot (5-b)} = \frac{5-b}{(5-b)(5+b)}$ * $\frac{1 \cdot (5+b)}{(5-b) \cdot (5+b)} = \frac{5+b}{(5-b)(5+b)}$ Теперь сложим и вычтем дроби: $$ \frac{10 - (5-b) + (5+b)}{(5-b)(5+b)} = \frac{10 - 5 + b + 5 + b}{(5-b)(5+b)} = \frac{10 + 2b}{(5-b)(5+b)} = \frac{2(5+b)}{(5-b)(5+b)} $$ Сократим $(5+b)$ в числителе и знаменателе: $$ \frac{2}{5-b} $$ Теперь посмотрим на вторую часть выражения $(25 - 10b + b^2)$. Это квадрат разности $(5-b)^2$. Умножим полученные выражения: $$ \frac{2}{5-b} \cdot (5-b)^2 = 2(5-b) = 10 - 2b $$ **Ответ: $10 - 2b$** ### б) $\left(\frac{2}{m-2} - \frac{8}{m^2-4} - \frac{1}{m+2}\right)(m^2 + 4m + 4)$ Сначала упростим выражение в первых скобках: 1. Заметим, что $m^2 - 4$ — это разность квадратов, её можно записать как $(m-2)(m+2)$. 2. Найдём общий знаменатель для дробей: это будет $(m-2)(m+2)$. 3. Приведём каждую дробь к общему знаменателю: * $\frac{2 \cdot (m+2)}{(m-2) \cdot (m+2)} = \frac{2m+4}{(m-2)(m+2)}$ * $\frac{8}{(m-2)(m+2)}$ * $\frac{1 \cdot (m-2)}{(m+2) \cdot (m-2)} = \frac{m-2}{(m-2)(m+2)}$ Теперь сложим и вычтем дроби: $$ \frac{(2m+4) - 8 - (m-2)}{(m-2)(m+2)} = \frac{2m+4-8-m+2}{(m-2)(m+2)} = \frac{m-2}{(m-2)(m+2)} $$ Сократим $(m-2)$ в числителе и знаменателе: $$ \frac{1}{m+2} $$ Теперь посмотрим на вторую часть выражения $(m^2 + 4m + 4)$. Это квадрат суммы $(m+2)^2$. Умножим полученные выражения: $$ \frac{1}{m+2} \cdot (m+2)^2 = m+2 $$ **Ответ: $m+2$** ### в) $\left(\frac{4}{a+1} + \frac{2a}{a^2-1} - \frac{1}{a-1}\right)(a^2 + 2a + 1)$ Сначала упростим выражение в первых скобках: 1. Заметим, что $a^2 - 1$ — это разность квадратов, её можно записать как $(a-1)(a+1)$. 2. Найдём общий знаменатель для дробей: это будет $(a-1)(a+1)$. 3. Приведём каждую дробь к общему знаменателю: * $\frac{4 \cdot (a-1)}{(a+1) \cdot (a-1)} = \frac{4a-4}{(a-1)(a+1)}$ * $\frac{2a}{(a-1)(a+1)}$ * $\frac{1 \cdot (a+1)}{(a-1) \cdot (a+1)} = \frac{a+1}{(a-1)(a+1)}$ Теперь сложим и вычтем дроби: $$ \frac{(4a-4) + 2a - (a+1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{4a-4+2a-a-1}{(a-1)(a+1)} = \frac{5a-5}{(a-1)(a+1)} = \frac{5(a-1)}{(a-1)(a+1)} $$ Сократим $(a-1)$ в числителе и знаменателе: $$ \frac{5}{a+1} $$ Теперь посмотрим на вторую часть выражения $(a^2 + 2a + 1)$. Это квадрат суммы $(a+1)^2$. Умножим полученные выражения: $$ \frac{5}{a+1} \cdot (a+1)^2 = 5(a+1) = 5a+5 $$ **Ответ: $5a+5$** ### г) $\left(\frac{2}{3-x} - \frac{4x}{9-x^2} - \frac{1}{3+x}\right)(9 + 6x + x^2)$ Сначала упростим выражение в первых скобках: 1. Заметим, что $9 - x^2$ — это разность квадратов, её можно записать как $(3-x)(3+x)$. 2. Найдём общий знаменатель для дробей: это будет $(3-x)(3+x)$. 3. Приведём каждую дробь к общему знаменателю: * $\frac{2 \cdot (3+x)}{(3-x) \cdot (3+x)} = \frac{6+2x}{(3-x)(3+x)}$ * $\frac{4x}{(3-x)(3+x)}$ * $\frac{1 \cdot (3-x)}{(3+x) \cdot (3-x)} = \frac{3-x}{(3-x)(3+x)}$ Теперь сложим и вычтем дроби: $$ \frac{(6+2x) - 4x - (3-x)}{(3-x)(3+x)} = \frac{6+2x-4x-3+x}{(3-x)(3+x)} = \frac{3-x}{(3-x)(3+x)} $$ Сократим $(3-x)$ в числителе и знаменателе: $$ \frac{1}{3+x} $$ Теперь посмотрим на вторую часть выражения $(9 + 6x + x^2)$. Это квадрат суммы $(3+x)^2$. Умножим полученные выражения: $$ \frac{1}{3+x} \cdot (3+x)^2 = 3+x $$ **Ответ: $3+x$**