Упрости выражение $(a-5)^2 - a(3a-2)$

Привет! Давай вместе решим эти задачки. ### 1. Упростить: а) Чтобы упростить это выражение, сначала раскроем скобки. Помни, что $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а умножение $a$ на скобку означает, что $a$ умножается на каждое число внутри скобки: $$ (a-5)^2 - a(3a-2) = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2) - (a \cdot 3a - a \cdot 2) $$ $$ = (a^2 - 10a + 25) - (3a^2 - 2a) $$ Теперь раскроем вторую скобку, меняя знаки на противоположные, потому что перед ней стоит минус: $$ = a^2 - 10a + 25 - 3a^2 + 2a $$ И приведём подобные слагаемые (сложим $a^2$ с $a^2$, $a$ с $a$, а числа с числами): $$ = (a^2 - 3a^2) + (-10a + 2a) + 25 $$ $$ = -2a^2 - 8a + 25 $$ **Ответ: $-2a^2 - 8a + 25$** б) Тут нужно сократить дробь. Обрати внимание, что в числителе (сверху) можно вынести общий множитель $x^2$ за скобки. Ведь $x^3 = x^2 \cdot x$ и $x^2 = x^2 \cdot 1$: $$ \frac{x^3 - x^2}{x^2} = \frac{x^2(x - 1)}{x^2} $$ Теперь, если $x \neq 0$, мы можем сократить $x^2$ в числителе и знаменателе (сверху и снизу): $$ = x - 1 $$ **Ответ: $x - 1$** ### 2. Разложить на множители: а) Здесь нужно найти общий множитель для $81xy^2$ и $9x^2$. Смотри, и 81, и 9 делятся на 9. И там, и там есть $x$. Значит, можно вынести $9x$ за скобки: $$ 81xy^2 - 9x^2 = 9x(9y^2 - x) $$ **Ответ: $9x(9y^2 - x)$** б) Выражение $16k^2 - k^4$ похоже на формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Сначала вынесем $k^2$ за скобки, чтобы было удобнее: $$ 16k^2 - k^4 = k^2(16 - k^2) $$ А теперь в скобках $16 - k^2$ можно представить как $4^2 - k^2$. Это и есть разность квадратов! $$ = k^2(4 - k)(4 + k) $$ **Ответ: $k^2(4 - k)(4 + k)$** в) Это выражение $4a - ab + 4c - cb$ нужно разложить, сгруппировав слагаемые. Сначала сгруппируем первые два и последние два члена: $$ (4a - ab) + (4c - cb) $$ Из первой скобки можно вынести $a$, из второй — $c$: $$ a(4 - b) + c(4 - b) $$ Теперь у нас есть общий множитель $(4 - b)$, который можно вынести за скобки: $$ (4 - b)(a + c) $$ **Ответ: $(4 - b)(a + c)$** ### 3. Решить уравнение: а) Уравнение $2x - (2x+4) = 3(2x-4)$. Сначала раскроем скобки. Перед $(2x+4)$ стоит минус, значит, знаки внутри скобки поменяются. А $3$ умножим на каждое число во второй скобке: $$ 2x - 2x - 4 = 6x - 12 $$ Упростим левую часть (2x и -2x взаимно уничтожаются): $$ -4 = 6x - 12 $$ Теперь перенесём все $x$ в одну сторону, а числа — в другую. При переносе через знак равенства меняем знак: $$ -4 + 12 = 6x $$ $$ 8 = 6x $$ Чтобы найти $x$, разделим обе части на 6: $$ x = \frac{8}{6} $$ Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $$ x = \frac{4}{3} $$ **Ответ: $x = \frac{4}{3}$** б) Уравнение $x(x-2) = (x+3)^2$. Сначала раскроем скобки. Слева умножим $x$ на $x$ и на $-2$. Справа используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$ x^2 - 2x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 $$ $$ x^2 - 2x = x^2 + 6x + 9 $$ Теперь перенесём все члены с $x$ в одну сторону, а числа — в другую. $x^2$ и $-x^2$ (когда перенесём) взаимно уничтожатся: $$ x^2 - x^2 - 2x - 6x = 9 $$ $$ -8x = 9 $$ Чтобы найти $x$, разделим обе части на $-8$: $$ x = -\frac{9}{8} $$ **Ответ: $x = -\frac{9}{8}$** ### 4. Построить график функции $y = 4 - 5x$. Принадлежит ли точка A(9; -41) графику этой функции? Чтобы построить график линейной функции, такой как $y = 4 - 5x$, нам нужно найти хотя бы две точки. Выберем любые значения для $x$, например $x=0$ и $x=1$, и найдём соответствующие $y$: Если $x = 0$: $$ y = 4 - 5 \cdot 0 = 4 - 0 = 4 $$ Значит, одна точка — $(0; 4)$. Если $x = 1$: $$ y = 4 - 5 \cdot 1 = 4 - 5 = -1 $$ Значит, вторая точка — $(1; -1)$. Ты можешь нарисовать координатную плоскость, отметить эти две точки и провести через них прямую — это и будет график функции $y = 4 - 5x$. Чтобы проверить, принадлежит ли точка A(9; -41) графику функции, нужно подставить её координаты ($x=9$, $y=-41$) в уравнение функции. Если равенство будет верным, то точка принадлежит графику: $$ y = 4 - 5x $$ $$ -41 = 4 - 5 \cdot 9 $$ $$ -41 = 4 - 45 $$ $$ -41 = -41 $$ Равенство оказалось верным! Значит, точка A(9; -41) принадлежит графику этой функции. **Ответ: Точка A(9; -41) принадлежит графику функции $y = 4 - 5x$.** ### 5. Решить систему уравнений: 1) $$ \begin{cases} x + 2y = 4, \quad &(1)\\ 3x - 4y = 2; \quad &(2) \end{cases} $$ Давай решим эту систему методом сложения. Для этого умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными ($4y$ и $-4y$): Умножаем (1) на 2: $$ 2 \cdot (x + 2y) = 2 \cdot 4 $$ $$ 2x + 4y = 8 \quad &(3) $$ Теперь сложим уравнение (3) с уравнением (2): $$ (2x + 4y) + (3x - 4y) = 8 + 2 $$ $$ 2x + 4y + 3x - 4y = 10 $$ $$ 5x = 10 $$ Найдём $x$: $$ x = \frac{10}{5} = 2 $$ Теперь подставим найденное значение $x=2$ в любое из исходных уравнений, например, в первое $(1)$, чтобы найти $y$: $$ x + 2y = 4 $$ $$ 2 + 2y = 4 $$ $$ 2y = 4 - 2 $$ $$ 2y = 2 $$ $$ y = \frac{2}{2} = 1 $$ **Ответ: $(2; 1)$** 2) $$ \begin{cases} 5x - 6y = 7, \quad &(1)\\ 10x + 6y = 8; \quad &(2) \end{cases} $$ Эту систему тоже удобно решить методом сложения, потому что у нас уже есть противоположные коэффициенты при $y$ ($-6y$ и $6y$). Просто сложим первое уравнение со вторым: $$ (5x - 6y) + (10x + 6y) = 7 + 8 $$ $$ 5x - 6y + 10x + 6y = 15 $$ $$ 15x = 15 $$ Найдём $x$: $$ x = \frac{15}{15} = 1 $$ Теперь подставим найденное значение $x=1$ в любое из исходных уравнений, например, в первое $(1)$, чтобы найти $y$: $$ 5x - 6y = 7 $$ $$ 5 \cdot 1 - 6y = 7 $$ $$ 5 - 6y = 7 $$ $$ -6y = 7 - 5 $$ $$ -6y = 2 $$ Чтобы найти $y$, разделим обе части на $-6$: $$ y = \frac{2}{-6} $$ Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $$ y = -\frac{1}{3} $$ **Ответ: $(1; -\frac{1}{3})$**