Привет! Давай разберем эти задания по алгебре. Упростим выражение, решим уравнения и неравенства, а график функции построим, когда она будет дана. Начнем!
**1) Упростить выражение:**
$$ \frac{7}{3x-1} - \frac{5}{2x-1} : \frac{3x-1}{4x^2-1} $$
Сначала разберемся с делением. Помнишь, чтобы разделить дроби, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую? А ещё, $4x^2-1$ — это разность квадратов, её можно записать как $(2x-1)(2x+1)$.
$$ \frac{5}{2x-1} : \frac{3x-1}{4x^2-1} = \frac{5}{2x-1} \cdot \frac{4x^2-1}{3x-1} = \frac{5}{2x-1} \cdot \frac{(2x-1)(2x+1)}{3x-1} $$
Теперь можно сократить $(2x-1)$ в числителе и знаменателе:
$$ \frac{5 \cdot (2x+1)}{3x-1} $$
Теперь вернемся к вычитанию:
$$ \frac{7}{3x-1} - \frac{5(2x+1)}{3x-1} $$
Так как знаменатели одинаковые, просто вычтем числители:
$$ \frac{7 - 5(2x+1)}{3x-1} = \frac{7 - 10x - 5}{3x-1} = \frac{2 - 10x}{3x-1} $$
Можно вынести 2 за скобку в числителе:
$$ \frac{2(1 - 5x)}{3x-1} $$
**Ответ: $\frac{2(1 - 5x)}{3x-1}$**
**2) Решить уравнения:**
a) $5x^2 - 2x - 3 = 0$
Это квадратное уравнение. Чтобы его решить, можно использовать формулу дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=5$, $b=-2$, $c=-3$.
$$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64 $$
Теперь найдём корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$$ x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 + 8}{10} = \frac{10}{10} = 1 $$
$$ x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 - 8}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6 $$
**Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -0.6$**
б) $x^4 + 2x^2 - 3 = 0$
Это биквадратное уравнение. Давай сделаем замену: пусть $y = x^2$. Тогда уравнение станет квадратным:
$$ y^2 + 2y - 3 = 0 $$
Снова используем дискриминант: $a=1$, $b=2$, $c=-3$.
$$ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 $$
Находим корни для $y$:
$$ y_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$
$$ y_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $$
Теперь возвращаемся к $x$: помним, что $y = x^2$.
Для $y_1 = 1$: $x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$.
Для $y_2 = -3$: $x^2 = -3$. Здесь нет решений, потому что квадрат числа не может быть отрицательным.
**Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$**
в) $\frac{8}{x-3} - \frac{10}{x} = 2$
Сначала найдём общий знаменатель, это будет $x(x-3)$. И помним, что $x \neq 0$ и $x \neq 3$.
Приводим всё к общему знаменателю и переносим 2 в левую часть:
$$ \frac{8x - 10(x-3)}{x(x-3)} - 2 = 0 $$
$$ \frac{8x - 10x + 30}{x(x-3)} - \frac{2x(x-3)}{x(x-3)} = 0 $$
$$ \frac{-2x + 30 - 2x^2 + 6x}{x(x-3)} = 0 $$
$$ \frac{-2x^2 + 4x + 30}{x(x-3)} = 0 $$
Для того чтобы дробь была равна нулю, её числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не должен быть равен нулю.
$-2x^2 + 4x + 30 = 0$
Разделим всё на -2, чтобы было проще:
$x^2 - 2x - 15 = 0$
Снова используем дискриминант: $a=1$, $b=-2$, $c=-15$.
$$ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 $$
Находим корни:
$$ x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5 $$
$$ x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3 $$
Проверяем, чтобы корни не совпадали с ограничениями $x \neq 0$ и $x \neq 3$. Оба корня подходят.
**Ответ: $x_1 = 5$, $x_2 = -3$**
г) $\sqrt{7x^2 + 3x} = 2x - 2$
Чтобы избавиться от корня, возведём обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{7x^2 + 3x})^2 = (2x - 2)^2$
$7x^2 + 3x = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 2 + (-2)^2$
$7x^2 + 3x = 4x^2 - 8x + 4$
Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$7x^2 - 4x^2 + 3x + 8x - 4 = 0$
$3x^2 + 11x - 4 = 0$
Найдем дискриминант: $a=3$, $b=11$, $c=-4$.
$$ D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169 $$
Находим корни:
$$ x_1 = \frac{-11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-11 + 13}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $$
$$ x_2 = \frac{-11 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-11 - 13}{6} = \frac{-24}{6} = -4 $$
Очень важно проверить решения для иррациональных уравнений! Значение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения (то есть $2x-2$) тоже должна быть неотрицательной, потому что корень всегда даёт неотрицательный результат.
Проверим $x_1 = \frac{1}{3}$:
Правая часть: $2 \cdot \frac{1}{3} - 2 = \frac{2}{3} - 2 = - \frac{4}{3}$. Это отрицательное число, значит, $x_1 = \frac{1}{3}$ не является решением.
Проверим $x_2 = -4$:
Правая часть: $2 \cdot (-4) - 2 = -8 - 2 = -10$. Это тоже отрицательное число, значит, $x_2 = -4$ также не является решением.
Получается, что у этого уравнения нет решений.
**Ответ: Нет решений**
**3) Решить неравенства:**
a) $3(1-x) \le 2$
Раскроем скобки:
$3 - 3x \le 2$
Перенесем числа вправо, а $x$ оставим слева:
$-3x \le 2 - 3$
$-3x \le -1$
Теперь поделим обе части на -3. Когда мы делим или умножаем неравенство на отрицательное число, нужно обязательно поменять знак неравенства на противоположный!
$x \ge \frac{-1}{-3}$
$x \ge \frac{1}{3}$
**Ответ: $x \ge \frac{1}{3}$** или в виде интервала $\left[\frac{1}{3}; +\infty\right)$
б) $-x^2 + 3x - 2 < 0$
Это квадратное неравенство. Умножим его на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным. Не забываем поменять знак неравенства!
$x^2 - 3x + 2 > 0$
Теперь найдём корни квадратного уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. Можно использовать формулу дискриминанта или теорему Виета. По теореме Виета: сумма корней $x_1+x_2 = 3$, произведение $x_1x_2 = 2$. Очевидно, что корни это 1 и 2.
$x_1 = 1$, $x_2 = 2$
Теперь посмотрим на параболу $y = x^2 - 3x + 2$. Её ветви направлены вверх (потому что коэффициент при $x^2$ равен 1, то есть положительный). Парабола пересекает ось X в точках 1 и 2. Неравенство $x^2 - 3x + 2 > 0$ означает, что нас интересуют те значения $x$, при которых парабола находится выше оси X.
Это происходит при $x < 1$ или $x > 2$.
**Ответ: $x < 1$ или $x > 2$** или в виде интервалов $(-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$
**4) Построить график функции**
В задании не указано, какую именно функцию нужно построить. Если ты напишешь формулу функции, я с удовольствием помогу тебе построить её график!
