Упрости выражение 7/(3x-1) - 5/(2x-1) : (3x-1)/(4x^2-1)

Привет! Давай разберёмся с этим вариантом по алгебре. ### 1) Упростить выражение Дано выражение: $$\frac{7}{3x-1} - \frac{5}{2x-1} : \frac{3x-1}{4x^2-1}$$ Сначала сделаем деление. Помни, что деление дробей — это умножение на перевёрнутую дробь. А ещё, $4x^2-1$ — это разность квадратов, её можно расписать как $(2x-1)(2x+1)$. $$\frac{5}{2x-1} : \frac{3x-1}{4x^2-1} = \frac{5}{2x-1} \cdot \frac{4x^2-1}{3x-1} = \frac{5}{2x-1} \cdot \frac{(2x-1)(2x+1)}{3x-1}$$ Сократим $(2x-1)$ в числителе и знаменателе: $$ = \frac{5(2x+1)}{3x-1}$$ Теперь подставим это обратно в наше выражение: $$\frac{7}{3x-1} - \frac{5(2x+1)}{3x-1}$$ Так как знаменатели одинаковые, можем вычесть числители: $$ = \frac{7 - 5(2x+1)}{3x-1} = \frac{7 - 10x - 5}{3x-1} = \frac{2 - 10x}{3x-1} = \frac{2(1-5x)}{3x-1}$$ **Ответ:** $$\frac{2(1-5x)}{3x-1}$$ ### 2) Решить уравнения: а) $5x^2 - 2x - 3 = 0$ Это квадратное уравнение. Решаем его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=5$, $b=-2$, $c=-3$. $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$$ Теперь найдём корни по формуле $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 + 8}{10} = \frac{10}{10} = 1$$ $$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 - 8}{10} = \frac{-6}{10} = -0.6$$ **Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -0.6$** б) $x^4 + 2x^2 - 3 = 0$ Это биквадратное уравнение. Давай сделаем замену: пусть $y = x^2$. Тогда уравнение станет: $$y^2 + 2y - 3 = 0$$ Решим это квадратное уравнение относительно $y$. По формуле дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=1$, $b=2$, $c=-3$. $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$ Теперь найдём $y$: $$y_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$y_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ Теперь вернёмся к нашей замене $y = x^2$. Случай 1: $x^2 = y_1 \implies x^2 = 1$ Отсюда $x = \pm \sqrt{1}$, то есть $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$. Случай 2: $x^2 = y_2 \implies x^2 = -3$ Квадрат числа не может быть отрицательным, поэтому в этом случае действительных решений нет. **Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$** в) $$\frac{8}{x-3} - \frac{10}{x} = 2$$ Сначала нужно найти общий знаменатель для дробей. Это будет $x(x-3)$. Перенесём $2$ в левую часть и приведём всё к общему знаменателю: $$\frac{8x}{x(x-3)} - \frac{10(x-3)}{x(x-3)} - \frac{2x(x-3)}{x(x-3)} = 0$$ Теперь можно приравнять числитель к нулю, при условии, что знаменатель не равен нулю. То есть $x \neq 0$ и $x \neq 3$. $$8x - 10(x-3) - 2x(x-3) = 0$$ Раскроем скобки: $$8x - 10x + 30 - 2x^2 + 6x = 0$$ Приведём подобные слагаемые: $$-2x^2 + 4x + 30 = 0$$ Разделим всё на $-2$, чтобы упростить: $$x^2 - 2x - 15 = 0$$ Решаем это квадратное уравнение. $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=1$, $b=-2$, $c=-15$. $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$$ Находим корни: $$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ Оба корня ($5$ и $-3$) не равны $0$ или $3$, так что они подходят. **Ответ: $x_1 = 5$, $x_2 = -3$** г) $$\sqrt{7x^2 + 3x} = 2x - 2$$ Для начала возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня. Но помни, что при этом могут появиться посторонние корни, поэтому нужно будет сделать проверку или учесть условия. Условия: выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $7x^2 + 3x \ge 0$. А правая часть уравнения $2x - 2$ должна быть неотрицательной, так как она равна корню, который всегда неотрицателен, то есть $2x - 2 \ge 0 \implies 2x \ge 2 \implies x \ge 1$. Возводим в квадрат: $$(\sqrt{7x^2 + 3x})^2 = (2x - 2)^2$$ $$7x^2 + 3x = 4x^2 - 8x + 4$$ Перенесём все слагаемые в одну сторону: $$7x^2 - 4x^2 + 3x + 8x - 4 = 0$$ $$3x^2 + 11x - 4 = 0$$ Решаем это квадратное уравнение. $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=3$, $b=11$, $c=-4$. $$D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 121 + 48 = 169$$ Находим корни: $$x_1 = \frac{-11 + \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-11 + 13}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$x_2 = \frac{-11 - \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{-11 - 13}{6} = \frac{-24}{6} = -4$$ Теперь нужно проверить, какие из этих корней удовлетворяют условию $x \ge 1$. Для $x_1 = \frac{1}{3}$: \frac{1}{3} < 1, так что этот корень не подходит. Для $x_2 = -4$: $-4 < 1$, так что этот корень тоже не подходит. Это означает, что у уравнения нет решений. **Ответ: Нет решений** ### 3) Решить неравенства: а) $3(1-x) \le 2$ Раскроем скобки: $$3 - 3x \le 2$$ Перенесём числа в одну сторону, $x$ в другую: $$-3x \le 2 - 3$$ $$-3x \le -1$$ Разделим обе части на $-3$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный! $$x \ge \frac{-1}{-3}$$ $$x \ge \frac{1}{3}$$ **Ответ:** $$x \ge \frac{1}{3}$$ или в виде интервала $$\left[\frac{1}{3}; +\infty\right)$$ б) $$\frac{x-4}{2} < 3 + \frac{x-1}{5}$$ Сначала приведём всё к общему знаменателю. Общий знаменатель для 2 и 5 — это 10. А число 3 можно представить как $\frac{30}{10}$. Умножим всё неравенство на 10: $$10 \cdot \frac{x-4}{2} < 10 \cdot 3 + 10 \cdot \frac{x-1}{5}$$ $$5(x-4) < 30 + 2(x-1)$$ Раскроем скобки: $$5x - 20 < 30 + 2x - 2$$ Соберём $x$ с одной стороны, числа — с другой: $$5x - 2x < 30 - 2 + 20$$ $$3x < 48$$ Разделим на 3: $$x < \frac{48}{3}$$ $$x < 16$$ **Ответ:** $$x < 16$$ или в виде интервала $$(-\infty; 16)$$ ### 4) Построить график функции **Недостаточно данных для точного решения.** Пожалуйста, укажи уравнение функции, для которой нужно построить график.