**№1. Упростить выражение**
1. Нам нужно упростить выражение $$\left(\frac{a-1}{a+1} - \frac{a+1}{a-1}\right) \div \frac{2a}{1-a^2}$$
Сначала упростим то, что в скобках. Приведём дроби к общему знаменателю $(a+1)(a-1)$:
$$\frac{(a-1)(a-1) - (a+1)(a+1)}{(a+1)(a-1)} = \frac{(a-1)^2 - (a+1)^2}{(a+1)(a-1)}$$
В числителе используем формулы квадрата разности и квадрата суммы: $(a-1)^2 = a^2 - 2a + 1$ и $(a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$.
В знаменателе используем формулу разности квадратов: $(a+1)(a-1) = a^2 - 1$.
Получаем:
$$\frac{(a^2 - 2a + 1) - (a^2 + 2a + 1)}{a^2 - 1} = \frac{a^2 - 2a + 1 - a^2 - 2a - 1}{a^2 - 1} = \frac{-4a}{a^2 - 1}$$
Теперь вернёмся к делению. Заменим $1-a^2$ на $-(a^2-1)$:
$$\frac{-4a}{a^2 - 1} \div \frac{2a}{-(a^2 - 1)}$$
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на перевёрнутую дробь:
$$\frac{-4a}{a^2 - 1} \times \frac{-(a^2 - 1)}{2a}$$
Сокращаем $(a^2-1)$ и $a$:
$$\frac{-4}{1} \times \frac{-1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$
**Ответ: 2**
2. Нам нужно упростить выражение $$\frac{a}{a-4} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2}$$
Заметим, что $a-4 = (\sqrt{a})^2 - 2^2 = (\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)$.
Тогда первая дробь: $$\frac{a}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)}$$
Приводим дроби к общему знаменателю $( \sqrt{a}-2)( \sqrt{a}+2)$:
$$\frac{a}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} - \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+2)}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)}$$
Теперь вычитаем числители:
$$\frac{a - (\sqrt{a}(\sqrt{a}+2))}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} = \frac{a - (a + 2\sqrt{a})}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)}$$
Раскрываем скобки:
$$\frac{a - a - 2\sqrt{a}}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} = \frac{-2\sqrt{a}}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)}$$
**Ответ: $$\frac{-2\sqrt{a}}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)}$$**
**№2. Решить уравнение:**
$$(6x-5)^2 + (3x-2)(3x+2) = 36$$
Сначала раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
$$(6x-5)^2 = (6x)^2 - 2 \times 6x \times 5 + 5^2 = 36x^2 - 60x + 25$$
Для второго слагаемого используем формулу разности квадратов: $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$.
$$(3x-2)(3x+2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4$$
Теперь подставляем это обратно в уравнение:
$$36x^2 - 60x + 25 + 9x^2 - 4 = 36$$
Складываем подобные члены:
$$(36x^2 + 9x^2) - 60x + (25 - 4) = 36$$
$$45x^2 - 60x + 21 = 36$$
Перенесём 36 в левую часть уравнения:
$$45x^2 - 60x + 21 - 36 = 0$$
$$45x^2 - 60x - 15 = 0$$
Это квадратное уравнение. Можем упростить его, разделив все члены на 15:
$$\frac{45x^2}{15} - \frac{60x}{15} - \frac{15}{15} = 0$$
$$3x^2 - 4x - 1 = 0$$
Теперь решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=3$, $b=-4$, $c=-1$.
$$D = (-4)^2 - 4 \times 3 \times (-1) = 16 + 12 = 28$$
Находим корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{28}}{2 \times 3} = \frac{4 + \sqrt{28}}{6}$$
$$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{28}}{2 \times 3} = \frac{4 - \sqrt{28}}{6}$$
Можно упростить $\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7}$.
$$x_1 = \frac{4 + 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2(2 + \sqrt{7})}{6} = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$$
$$x_2 = \frac{4 - 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2(2 - \sqrt{7})}{6} = \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$$
**Ответ: $$x_1 = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}, x_2 = \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$$**
**№3. Решить систему неравенств:**
$$\begin{cases} (y+6)(5-y) + y(y-1) > 0 \ 0,3y(10y+20) - 3y^2 + 30 > 0 \end{cases}$$
Решим первое неравенство:
$$(y+6)(5-y) + y(y-1) > 0$$
Раскроем скобки:
$$5y - y^2 + 30 - 6y + y^2 - y > 0$$
Сложим подобные члены:
$$(y^2 - y^2) + (5y - 6y - y) + 30 > 0$$
$$-2y + 30 > 0$$
Перенесём 30 в правую часть:
$$-2y > -30$$
Разделим на -2, при этом знак неравенства меняется на противоположный:
$$y < 15$$
Решим второе неравенство:
$$0,3y(10y+20) - 3y^2 + 30 > 0$$
Раскроем скобки:
$$0,3y \times 10y + 0,3y \times 20 - 3y^2 + 30 > 0$$
$$3y^2 + 6y - 3y^2 + 30 > 0$$
Сложим подобные члены:
$$(3y^2 - 3y^2) + 6y + 30 > 0$$
$$6y + 30 > 0$$
Перенесём 30 в правую часть:
$$6y > -30$$
Разделим на 6:
$$y > -5$$
Теперь у нас есть система решений:
$$\begin{cases} y < 15 \ y > -5 \end{cases}$$
Это означает, что $y$ находится между -5 и 15.
**Ответ: $$-5 < y < 15$$**
**№4. Катер проплывает 4 км против течения реки и 15 км по течению за то же время, которое требуется плоту, чтобы проплыть 2 км по этой реке. Найти скорость течения, если собственная скорость катера 18 км/ч.**
Пусть $V_{теч}$ — скорость течения реки.
Собственная скорость катера $V_{кат} = 18$ км/ч.
Скорость катера по течению: $V_{по теч} = V_{кат} + V_{теч} = 18 + V_{теч}$ км/ч.
Скорость катера против течения: $V_{против теч} = V_{кат} - V_{теч} = 18 - V_{теч}$ км/ч.
Скорость плота равна скорости течения реки: $V_{плот} = V_{теч}$ км/ч.
Время, за которое катер проплывает 4 км против течения: $t_1 = \frac{4}{18 - V_{теч}}$ часов.
Время, за которое катер проплывает 15 км по течению: $t_2 = \frac{15}{18 + V_{теч}}$ часов.
Общее время, которое катер находится в пути: $T_{кат} = t_1 + t_2 = \frac{4}{18 - V_{теч}} + \frac{15}{18 + V_{теч}}$ часов.
Время, за которое плот проплывает 2 км: $T_{плот} = \frac{2}{V_{теч}}$ часов.
По условию, общее время катера равно времени плота: $T_{кат} = T_{плот}$.
$$\frac{4}{18 - V_{теч}} + \frac{15}{18 + V_{теч}} = \frac{2}{V_{теч}}$$
Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $(18 - V_{теч})(18 + V_{теч}) = 18^2 - V_{теч}^2 = 324 - V_{теч}^2$:
$$\frac{4(18 + V_{теч}) + 15(18 - V_{теч})}{324 - V_{теч}^2} = \frac{2}{V_{теч}}$$
Раскроем скобки в числителе:
$$\frac{72 + 4V_{теч} + 270 - 15V_{теч}}{324 - V_{теч}^2} = \frac{2}{V_{теч}}$$
Сложим подобные члены:
$$\frac{342 - 11V_{теч}}{324 - V_{теч}^2} = \frac{2}{V_{теч}}$$
Теперь перемножим крест-на-крест:
$$V_{теч}(342 - 11V_{теч}) = 2(324 - V_{теч}^2)$$
Раскроем скобки:
$$342V_{теч} - 11V_{теч}^2 = 648 - 2V_{теч}^2$$
Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$$-11V_{теч}^2 + 2V_{теч}^2 + 342V_{теч} - 648 = 0$$
$$-9V_{теч}^2 + 342V_{теч} - 648 = 0$$
Разделим всё на -9 для упрощения:
$$\frac{-9V_{теч}^2}{-9} + \frac{342V_{теч}}{-9} - \frac{648}{-9} = 0$$
$$V_{теч}^2 - 38V_{теч} + 72 = 0$$
Решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=1$, $b=-38$, $c=72$.
$$D = (-38)^2 - 4 \times 1 \times 72 = 1444 - 288 = 1156$$
Находим $\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$.
Находим корни $V_{теч}$ по формуле $V_{теч} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$$V_{теч_1} = \frac{-(-38) + 34}{2 \times 1} = \frac{38 + 34}{2} = \frac{72}{2} = 36$$
$$V_{теч_2} = \frac{-(-38) - 34}{2 \times 1} = \frac{38 - 34}{2} = \frac{4}{2} = 2$$
Скорость течения не может быть больше собственной скорости катера (18 км/ч), иначе катер не сможет плыть против течения. Значит, $V_{теч_1} = 36$ км/ч не подходит.
Подходит $V_{теч_2} = 2$ км/ч.
**Ответ: Скорость течения реки равна 2 км/ч.**
