Привет! Давай разберем эти задачки по математике.
### №1. Упростить выражение:
1. Начнём с первого выражения:
Сначала упростим то, что в скобках. Найдём общий знаменатель для двух дробей: $(a+1)(a-1)$, что равно $a^2-1$. Заметь, что $1-a^2 = -(a^2-1)$.
$$\left(\frac{a-1}{a+1} - \frac{a+1}{a-1}\right) + \frac{2a}{1-a^2}$$
Приведём дроби в скобках к общему знаменателю:
$$\frac{(a-1)(a-1) - (a+1)(a+1)}{(a+1)(a-1)} = \frac{(a-1)^2 - (a+1)^2}{a^2-1}$$
Раскроем квадраты разности и суммы:
$$\frac{(a^2 - 2a + 1) - (a^2 + 2a + 1)}{a^2-1} = \frac{a^2 - 2a + 1 - a^2 - 2a - 1}{a^2-1} = \frac{-4a}{a^2-1}$$
Теперь подставим это обратно в исходное выражение, помня, что $\frac{2a}{1-a^2} = \frac{2a}{-(a^2-1)} = -\frac{2a}{a^2-1}$:
$$\frac{-4a}{a^2-1} - \frac{2a}{a^2-1} = \frac{-4a - 2a}{a^2-1} = \frac{-6a}{a^2-1}$$
**Ответ: $\frac{-6a}{a^2-1}$**
2. Теперь второе выражение:
Сначала вспомним, что $a-4 = (\sqrt{a})^2 - 2^2 = (\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)$.
$$\frac{a}{a-4} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2}$$
Приведём дроби к общему знаменателю $(a-4)$:
$$\frac{a}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} - \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+2)}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)}$$
$$\frac{a - (\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} + \sqrt{a} \cdot 2)}{a-4} = \frac{a - (a + 2\sqrt{a})}{a-4}$$
$$\frac{a - a - 2\sqrt{a}}{a-4} = \frac{-2\sqrt{a}}{a-4}$$
**Ответ: $\frac{-2\sqrt{a}}{a-4}$**
### №2. Решить уравнение:
$$(6x-5)^2 + (3x-2)(3x+2) = 36$$
Раскроем скобки. Первая скобка — это квадрат разности, вторая — разность квадратов:
$$(6x)^2 - 2 \cdot 6x \cdot 5 + 5^2 + ( (3x)^2 - 2^2 ) = 36$$
$$36x^2 - 60x + 25 + 9x^2 - 4 = 36$$
Сложим подобные члены:
$$45x^2 - 60x + 21 = 36$$
Перенесём 36 в левую часть:
$$45x^2 - 60x + 21 - 36 = 0$$
$$45x^2 - 60x - 15 = 0$$
Разделим всё уравнение на 15, чтобы упростить его:
$$\frac{45x^2}{15} - \frac{60x}{15} - \frac{15}{15} = 0$$
$$3x^2 - 4x - 1 = 0$$
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. $a=3, b=-4, c=-1$.
$$D = b^2 - 4ac$$
$$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16 + 12 = 28$$
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$
$$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm \sqrt{4 \cdot 7}}{6} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{6}$$
Сократим дробь на 2:
$$x = \frac{2(2 \pm \sqrt{7})}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}$$
Получаем два корня:
$$x_1 = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$$
$$x_2 = \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$$
**Ответ: $x_1 = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$, $x_2 = \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$**
### №3. Решить систему неравенств:
$$\begin{cases} (y+6)(5-y) + y(y-1) > 0 \ 0,3y(10y + 20) - 3y^2 + 30 > 0 \ \end{cases}$$
Сначала решим первое неравенство:
$$(y+6)(5-y) + y(y-1) > 0$$
Раскроем скобки:
$$5y - y^2 + 30 - 6y + y^2 - y > 0$$
Сложим подобные члены:
$$-y^2 + y^2 + 5y - 6y - y + 30 > 0$$
$$-2y + 30 > 0$$
$$-2y > -30$$
Разделим на -2, не забывая поменять знак неравенства:
$$y < 15$$
Теперь решим второе неравенство:
$$0,3y(10y + 20) - 3y^2 + 30 > 0$$
Раскроем скобки:
$$0,3y \cdot 10y + 0,3y \cdot 20 - 3y^2 + 30 > 0$$
$$3y^2 + 6y - 3y^2 + 30 > 0$$
Сложим подобные члены:
$$3y^2 - 3y^2 + 6y + 30 > 0$$
$$6y + 30 > 0$$
$$6y > -30$$
Разделим на 6:
$$y > -5$$
Теперь объединим решения двух неравенств. У нас получилось $y < 15$ и $y > -5$. Это значит, что $y$ находится между -5 и 15.
**Ответ: $-5 < y < 15$**
### №4. Катер проплывает 4 км против течения реки и 15 км по течению за то же время, которое требуется плоту, чтобы проплыть 2 км по этой реке. Найти скорость течения, если собственная скорость катера 18 км/ч
Давай введём переменные:
* Пусть $V_т$ – скорость течения реки (км/ч). Это то, что нам нужно найти.
* Собственная скорость катера $V_к = 18$ км/ч.
Теперь разберёмся со скоростями и временем:
1. Скорость катера по течению: $V_{по} = V_к + V_т = 18 + V_т$ (км/ч).
2. Скорость катера против течения: $V_{пр} = V_к - V_т = 18 - V_т$ (км/ч).
3. Скорость плота равна скорости течения реки: $V_{плот} = V_т$ (км/ч).
Теперь выразим время для каждого случая, используя формулу $t = \frac{S}{V}$ (время = расстояние / скорость):
* Время, за которое катер проплывает 4 км против течения: $t_{пр} = \frac{4}{18 - V_т}$ (часов).
* Время, за которое катер проплывает 15 км по течению: $t_{по} = \frac{15}{18 + V_т}$ (часов).
* Время, за которое плот проплывает 2 км: $t_{плот} = \frac{2}{V_т}$ (часов).
По условию задачи, общее время, которое тратит катер, равно времени, которое тратит плот:
$$t_{пр} + t_{по} = t_{плот}$$
$$\frac{4}{18 - V_т} + \frac{15}{18 + V_т} = \frac{2}{V_т}$$
Теперь решим это уравнение. Сначала приведём дроби в левой части к общему знаменателю $(18 - V_т)(18 + V_т)$:
$$\frac{4(18 + V_т) + 15(18 - V_т)}{(18 - V_т)(18 + V_т)} = \frac{2}{V_т}$$
$$\frac{72 + 4V_т + 270 - 15V_т}{18^2 - V_т^2} = \frac{2}{V_т}$$
$$\frac{342 - 11V_т}{324 - V_т^2} = \frac{2}{V_т}$$
Теперь перемножим крест-накрест:
$$V_т(342 - 11V_т) = 2(324 - V_т^2)$$
$$342V_т - 11V_т^2 = 648 - 2V_т^2$$
Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$$-11V_т^2 + 2V_т^2 + 342V_т - 648 = 0$$
$$-9V_т^2 + 342V_т - 648 = 0$$
Разделим всё уравнение на -9, чтобы упростить:
$$V_т^2 - 38V_т + 72 = 0$$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. $a=1, b=-38, c=72$.
$$D = b^2 - 4ac = (-38)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72$$
$$D = 1444 - 288 = 1156$$
Найдём корень из дискриминанта:
$$\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$$
Теперь найдём значения $V_т$:
$$V_т = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-38) \pm 34}{2 \cdot 1} = \frac{38 \pm 34}{2}$$
$$V_{т1} = \frac{38 + 34}{2} = \frac{72}{2} = 36$$
$$V_{т2} = \frac{38 - 34}{2} = \frac{4}{2} = 2$$
Рассмотрим полученные ответы:
* Скорость течения не может быть больше собственной скорости катера, так как иначе катер не сможет плыть против течения. $V_т = 36$ км/ч не подходит, потому что $18 - 36 < 0$.
* $V_т = 2$ км/ч подходит, так как $18 - 2 = 16 > 0$.
**Ответ: Скорость течения реки 2 км/ч.**
