Упрости выражение: (a-1)/(a+1) - (a+1)/(a-1) + 2a/(1-a^2)

Привет! Отличный набор заданий по алгебре. Давай разберём их по порядку. ### №1. Упростить выражение: 1. Начнём с первого выражения. Здесь нам нужно аккуратно складывать и вычитать дроби. Помни, что при сложении и вычитании дробей нужно привести их к общему знаменателю. $$\left(\frac{a-1}{a+1} - \frac{a+1}{a-1}\right) + \frac{2a}{1-a^2}$$ Сначала приведём дроби в скобках к общему знаменателю. Общий знаменатель для $(a+1)$ и $(a-1)$ будет $(a+1)(a-1)$, что равно $(a^2-1)$. $$\frac{(a-1)(a-1) - (a+1)(a+1)}{(a+1)(a-1)} + \frac{2a}{1-a^2}$$ Раскроем скобки в числителе. Помни формулы сокращённого умножения: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. $$\frac{(a^2 - 2a + 1) - (a^2 + 2a + 1)}{a^2 - 1} + \frac{2a}{1-a^2}$$ Теперь раскроем скобки в числителе и упростим его. Не забудь поменять знаки, когда раскрываешь скобки после минуса. $$\frac{a^2 - 2a + 1 - a^2 - 2a - 1}{a^2 - 1} + \frac{2a}{1-a^2}$$ $$ \frac{-4a}{a^2 - 1} + \frac{2a}{1-a^2}$$ Заметим, что $1-a^2 = -(a^2-1)$. Подставим это в выражение: $$ \frac{-4a}{a^2 - 1} + \frac{2a}{-(a^2-1)}$$ $$ \frac{-4a}{a^2 - 1} - \frac{2a}{a^2-1}$$ Теперь у нас общий знаменатель, и мы можем просто вычесть числители: $$ \frac{-4a - 2a}{a^2 - 1} = \frac{-6a}{a^2 - 1}$$ **Ответ:** $$ -\frac{6a}{a^2 - 1} $$ 2. Теперь второе выражение. Здесь есть корни, так что будь внимательнее. $$ \frac{a}{a-4} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2} $$ Заметим, что $a-4$ можно разложить как $(\sqrt{a})^2 - 2^2$, что по формуле разности квадратов будет $(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)$. Перепишем первую дробь: $$ \frac{a}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2} $$ Теперь приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)$. Вторую дробь нужно домножить на $(\sqrt{a}+2)$. $$ \frac{a}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} - \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+2)}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} $$ Теперь вычтем числители: $$ \frac{a - (\sqrt{a}\cdot\sqrt{a} + \sqrt{a}\cdot2)}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} $$ $$ \frac{a - (a + 2\sqrt{a})}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} $$ Раскроем скобки в числителе, не забывая про минус: $$ \frac{a - a - 2\sqrt{a}}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} $$ $$ \frac{-2\sqrt{a}}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} $$ Можно вернуть знаменатель к виду $a-4$: $$ \frac{-2\sqrt{a}}{a-4} $$ **Ответ:** $$ -\frac{2\sqrt{a}}{a-4} $$ ### №2. Решить уравнение: $$ (6x-5)^2 + (3x-2)(3x+2) = 36 $$ Раскроем скобки. Для $(6x-5)^2$ используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Для $(3x-2)(3x+2)$ используем формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. $$ (36x^2 - 2\cdot6x\cdot5 + 25) + ( (3x)^2 - 2^2 ) = 36 $$ $$ 36x^2 - 60x + 25 + 9x^2 - 4 = 36 $$ Сгруппируем слагаемые с $x^2$, $x$ и свободные члены: $$ (36x^2 + 9x^2) - 60x + (25 - 4) = 36 $$ $$ 45x^2 - 60x + 21 = 36 $$ Перенесём 36 из правой части в левую с противоположным знаком: $$ 45x^2 - 60x + 21 - 36 = 0 $$ $$ 45x^2 - 60x - 15 = 0 $$ Это квадратное уравнение. Все коэффициенты делятся на 15, так что давай разделим всё уравнение на 15, чтобы числа были поменьше: $$ 3x^2 - 4x - 1 = 0 $$ Теперь найдём дискриминант $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=3$, $b=-4$, $c=-1$. $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) $$ $$ D = 16 + 12 $$ $$ D = 28 $$ Так как $D > 0$, у нас будет два корня. Найдём их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. $$ x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + \sqrt{28}}{6} $$ $$ x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - \sqrt{28}}{6} $$ Можно упростить $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$. $$ x_1 = \frac{4 + 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2(2 + \sqrt{7})}{6} = \frac{2 + \sqrt{7}}{3} $$ $$ x_2 = \frac{4 - 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2(2 - \sqrt{7})}{6} = \frac{2 - \sqrt{7}}{3} $$ **Ответ:** $$ x_1 = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}, \quad x_2 = \frac{2 - \sqrt{7}}{3} $$ ### №3. Решить систему неравенств: $$ \begin{cases} (y+6)(5-y) + y(y-1) > 0 \\ 0,3y(10y+20) - 3y^2 + 30 > 0 \end{cases} $$ Решим первое неравенство: $$ (y+6)(5-y) + y(y-1) > 0 $$ Раскроем скобки: $$ 5y - y^2 + 30 - 6y + y^2 - y > 0 $$ Сгруппируем слагаемые: $$ (-y^2 + y^2) + (5y - 6y - y) + 30 > 0 $$ $$ 0y^2 - 2y + 30 > 0 $$ $$ -2y + 30 > 0 $$ Перенесём 30 в правую часть: $$ -2y > -30 $$ Разделим обе части на -2. **Важно!** При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. $$ y < \frac{-30}{-2} $$ $$ y < 15 $$ Теперь решим второе неравенство: $$ 0,3y(10y+20) - 3y^2 + 30 > 0 $$ Раскроем скобки: $$ 0,3y \cdot 10y + 0,3y \cdot 20 - 3y^2 + 30 > 0 $$ $$ 3y^2 + 6y - 3y^2 + 30 > 0 $$ Сгруппируем слагаемые: $$ (3y^2 - 3y^2) + 6y + 30 > 0 $$ $$ 0y^2 + 6y + 30 > 0 $$ $$ 6y + 30 > 0 $$ Перенесём 30 в правую часть: $$ 6y > -30 $$ Разделим обе части на 6: $$ y > \frac{-30}{6} $$ $$ y > -5 $$ Теперь у нас есть два условия для $y$: $y < 15$ и $y > -5$. Объединим их. $$ -5 < y < 15 $$ **Ответ:** $$ -5 < y < 15 $$ ### №4. Задача про катер и плот. Давай сначала запишем, что нам дано и что нужно найти. Скорость катера (собственная) $v_к = 18$ км/ч. Путь против течения $S_{пр} = 4$ км. Путь по течению $S_{по} = 15$ км. Путь плота $S_{плот} = 2$ км. Нужно найти скорость течения реки $v_{теч}$. Обозначим её за $x$. В задачах на движение есть формула: время = расстояние / скорость ($t = S/v$). Скорость катера против течения: $v_{пр} = v_к - x = 18 - x$ км/ч. Скорость катера по течению: $v_{по} = v_к + x = 18 + x$ км/ч. Время, которое катер плыл против течения: $t_{пр} = \frac{S_{пр}}{v_{пр}} = \frac{4}{18-x}$. Время, которое катер плыл по течению: $t_{по} = \frac{S_{по}}{v_{по}} = \frac{15}{18+x}$. В задаче сказано, что катер проплывает 4 км против течения и 15 км по течению *за то же время*, которое требуется плоту, чтобы проплыть 2 км. Плот движется со скоростью течения реки, потому что у него нет собственного мотора. Значит, скорость плота $v_{плот} = x$ км/ч. Время, которое плыл плот: $t_{плот} = \frac{S_{плот}}{v_{плот}} = \frac{2}{x}$. По условию задачи, общее время катера равно времени плота: $$ t_{пр} + t_{по} = t_{плот} $$ $$ \frac{4}{18-x} + \frac{15}{18+x} = \frac{2}{x} $$ Теперь нам нужно решить это уравнение. Сначала приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $x(18-x)(18+x)$. $$ \frac{4x(18+x) + 15x(18-x)}{x(18-x)(18+x)} = \frac{2(18-x)(18+x)}{x(18-x)(18+x)} $$ Приравняем числители, при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $x \neq 0$, $x \neq 18$, $x \neq -18$. Так как скорость течения не может быть отрицательной, $x > 0$, и скорость катера должна быть больше скорости течения, так что $18-x > 0 \implies x < 18$. Раскроем скобки в числителях: $$ 4x \cdot 18 + 4x \cdot x + 15x \cdot 18 - 15x \cdot x = 2(18^2 - x^2) $$ $$ 72x + 4x^2 + 270x - 15x^2 = 2(324 - x^2) $$ $$ (4x^2 - 15x^2) + (72x + 270x) = 648 - 2x^2 $$ $$ -11x^2 + 342x = 648 - 2x^2 $$ Перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $$ -11x^2 + 2x^2 + 342x - 648 = 0 $$ $$ -9x^2 + 342x - 648 = 0 $$ Разделим всё уравнение на -9, чтобы было удобнее считать (и поменять знаки): $$ x^2 - 38x + 72 = 0 $$ Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. $a=1$, $b=-38$, $c=72$. $$ D = b^2 - 4ac $$ $$ D = (-38)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 $$ $$ D = 1444 - 288 $$ $$ D = 1156 $$ Теперь найдём корни $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. $$ x = \frac{-(-38) \pm \sqrt{1156}}{2 \cdot 1} $$ $$ x = \frac{38 \pm 34}{2} $$ Найдём два возможных значения для $x$: $$ x_1 = \frac{38 + 34}{2} = \frac{72}{2} = 36 $$ $$ x_2 = \frac{38 - 34}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$ Теперь нам нужно проверить условия, которые мы нашли ранее: $x > 0$ и $x < 18$. Значение $x_1 = 36$ не подходит, потому что $36 \nless 18$. Скорость течения не может быть больше собственной скорости катера, иначе катер не сможет плыть против течения. Значение $x_2 = 2$ подходит, так как $2 > 0$ и $2 < 18$. Значит, скорость течения реки равна 2 км/ч. **Ответ:** Скорость течения реки 2 км/ч.