Упрости выражение (a-1)/(a+1) - (a+1)/(a-1) + 2a/(1-a^2)

Привет! Давай вместе решим эти задачки. Начнём по порядку! **№1. Упростить выражение:** 1. Начнём с первой части выражения: $$\left(\frac{a-1}{a+1} - \frac{a+1}{a-1}\right) + \frac{2a}{1-a^2}$$ Сначала упростим то, что в скобках. Для этого приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $$(a+1)(a-1)$$ или $$(a^2-1)$$. $$\frac{(a-1)(a-1)}{(a+1)(a-1)} - \frac{(a+1)(a+1)}{(a+1)(a-1)} = \frac{(a-1)^2 - (a+1)^2}{(a+1)(a-1)}$$ Теперь раскроем квадраты в числителе: $$(a-1)^2 = a^2 - 2a + 1$$ и $$(a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$$. $$\frac{(a^2 - 2a + 1) - (a^2 + 2a + 1)}{a^2 - 1} = \frac{a^2 - 2a + 1 - a^2 - 2a - 1}{a^2 - 1} = \frac{-4a}{a^2 - 1}$$ Теперь подставим это обратно в исходное выражение. Заметим, что $1-a^2 = -(a^2-1)$. $$\frac{-4a}{a^2 - 1} + \frac{2a}{-(a^2 - 1)} = \frac{-4a}{a^2 - 1} - \frac{2a}{a^2 - 1} = \frac{-4a - 2a}{a^2 - 1} = \frac{-6a}{a^2 - 1}$$ Мы можем записать это как $$\frac{6a}{1-a^2}$$. **Ответ: $$\frac{6a}{1-a^2}$$** 2. Упростим второе выражение: $$\frac{a}{a-4} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2}$$ Заметим, что $$a-4$$ можно представить как разность квадратов: $$(\sqrt{a})^2 - 2^2 = (\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)$$. Теперь заменим знаменатель в первой дроби: $$\frac{a}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2}$$ Приведём дроби к общему знаменателю, который будет $$(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)$$. Для этого вторую дробь умножим на $$(\sqrt{a}+2)$$ сверху и снизу. $$\frac{a}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} - \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+2)}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)}$$ Теперь объединим числители: $$\frac{a - (\sqrt{a}(\sqrt{a}+2))}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} = \frac{a - (a + 2\sqrt{a})}{a-4} = \frac{a - a - 2\sqrt{a}}{a-4} = \frac{-2\sqrt{a}}{a-4}$$ Мы можем записать это как $$\frac{2\sqrt{a}}{4-a}$$. **Ответ: $$\frac{2\sqrt{a}}{4-a}$$** **№2. Решить уравнение:** $$(6x-5)^2 + (3x-2)(3x+2) = 36$$ Сначала раскроем скобки. Первая скобка — это квадрат разности: $$(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$$. Вторая — разность квадратов: $$(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$$. $$(6x)^2 - 2 \cdot 6x \cdot 5 + 5^2 + ( (3x)^2 - 2^2 ) = 36$$ $$36x^2 - 60x + 25 + 9x^2 - 4 = 36$$ Теперь соберём все слагаемые с $$x^2$$, с $$x$$ и свободные члены. $$(36x^2 + 9x^2) - 60x + (25 - 4) = 36$$ $$45x^2 - 60x + 21 = 36$$ Перенесём 36 в левую часть уравнения: $$45x^2 - 60x + 21 - 36 = 0$$ $$45x^2 - 60x - 15 = 0$$ Можно разделить всё уравнение на 15, чтобы упростить коэффициенты: $$\frac{45x^2}{15} - \frac{60x}{15} - \frac{15}{15} = 0$$ $$3x^2 - 4x - 1 = 0$$ Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $$D = b^2 - 4ac$$. Здесь $$a=3$$, $$b=-4$$, $$c=-1$$. $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16 + 12 = 28$$ Так как $$D > 0$$, у нас будет два корня. Формула для корней: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$. $$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + \sqrt{4 \cdot 7}}{6} = \frac{4 + 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2(2 + \sqrt{7})}{6} = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$$ $$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - \sqrt{4 \cdot 7}}{6} = \frac{4 - 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2(2 - \sqrt{7})}{6} = \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$$ **Ответ: $$x_1 = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$$, $$x_2 = \frac{2 - \sqrt{7}}{3} $$** **№3. Решить систему неравенств:** $$\begin{cases} (y+6)(5-y) + y(y-1) > 0 \ 0,3y(10y+20) - 3y^2 + 30 > 0 \end{cases}$$ Начнём с первого неравенства: 1. $$(y+6)(5-y) + y(y-1) > 0$$ Раскроем скобки: $$5y - y^2 + 30 - 6y + y^2 - y > 0$$ Упростим выражение. Заметим, что $$-y^2$$ и $$+y^2$$ взаимно уничтожаются. $$(5y - 6y - y) + 30 > 0$$ $$-2y + 30 > 0$$ Перенесём 30 в правую часть: $$-2y > -30$$ Разделим на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный! $$y < \frac{-30}{-2}$$ $$y < 15$$ Теперь решим второе неравенство: 2. $$0,3y(10y+20) - 3y^2 + 30 > 0$$ Раскроем скобки: $$0,3y \cdot 10y + 0,3y \cdot 20 - 3y^2 + 30 > 0$$ $$3y^2 + 6y - 3y^2 + 30 > 0$$ Упростим выражение. Заметим, что $$3y^2$$ и $$-3y^2$$ взаимно уничтожаются. $$6y + 30 > 0$$ Перенесём 30 в правую часть: $$6y > -30$$ Разделим на 6: $$y > \frac{-30}{6}$$ $$y > -5$$ Теперь у нас есть два условия для $$y$$: $$y < 15$$ и $$y > -5$$. Это значит, что $$y$$ должно быть больше -5, но меньше 15. Запишем это как двойное неравенство: $$-5 < y < 15$$ **Ответ: $$-5 < y < 15$$** **№4. Задача про катер и плот:** Давай сначала разберёмся, что у нас есть: * Собственная скорость катера: $$V_к = 18$$ км/ч. * Скорость течения реки: $$V_{теч}$$ (мы её ищем). Когда катер плывёт против течения, его скорость уменьшается: $$V_{против} = V_к - V_{теч} = 18 - V_{теч}$$. Когда катер плывёт по течению, его скорость увеличивается: $$V_{по} = V_к + V_{теч} = 18 + V_{теч}$$. Скорость плота равна скорости течения реки: $$V_{плот} = V_{теч}$$. Вспомним формулу для времени: $$t = \frac{S}{V}$$, где $$S$$ — расстояние, $$V$$ — скорость. По условию, время, за которое катер проплывает 4 км против течения и 15 км по течению, равно времени, за которое плот проплывает 2 км. Запишем время для каждого случая: * Время катера против течения: $$t_{против} = \frac{4}{18 - V_{теч}}$$ * Время катера по течению: $$t_{по} = \frac{15}{18 + V_{теч}}$$ * Общее время катера: $$t_{катера} = t_{против} + t_{по} = \frac{4}{18 - V_{теч}} + \frac{15}{18 + V_{теч}}$$ * Время плота: $$t_{плота} = \frac{2}{V_{теч}}$$ По условию, эти времена равны: $$t_{катера} = t_{плота}$$. Составим уравнение: $$\frac{4}{18 - V_{теч}} + \frac{15}{18 + V_{теч}} = \frac{2}{V_{теч}}$$ Обозначим $$V_{теч}$$ как $$x$$. Не забудь, что скорость течения не может быть отрицательной, и $$(18-x)$$ и $$(18+x)$$ не должны быть равны нулю, значит $$x \neq 0$$, $$x \neq 18$$, $$x \neq -18$$. $$\frac{4}{18 - x} + \frac{15}{18 + x} = \frac{2}{x}$$ Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $$(18-x)(18+x) = 18^2 - x^2 = 324 - x^2$$: $$\frac{4(18 + x) + 15(18 - x)}{(18 - x)(18 + x)} = \frac{2}{x}$$ $$\frac{72 + 4x + 270 - 15x}{324 - x^2} = \frac{2}{x}$$ $$\frac{342 - 11x}{324 - x^2} = \frac{2}{x}$$ Теперь умножим крест-на-крест (умножим обе части на $$x(324 - x^2)$$, чтобы избавиться от знаменателей): $$x(342 - 11x) = 2(324 - x^2)$$ $$342x - 11x^2 = 648 - 2x^2$$ Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$-11x^2 + 2x^2 + 342x - 648 = 0$$ $$-9x^2 + 342x - 648 = 0$$ Разделим всё уравнение на -9, чтобы упростить и сделать коэффициент при $$x^2$$ положительным: $$x^2 - 38x + 72 = 0$$ Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $$D = b^2 - 4ac$$. Здесь $$a=1$$, $$b=-38$$, $$c=72$$. $$D = (-38)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72$$ $$D = 1444 - 288$$ $$D = 1156$$ Найдём корень из дискриминанта: $$\sqrt{1156} = 34$$. Теперь найдём корни $$x_1$$ и $$x_2$$: $$x_1 = \frac{-(-38) + 34}{2 \cdot 1} = \frac{38 + 34}{2} = \frac{72}{2} = 36$$ $$x_2 = \frac{-(-38) - 34}{2 \cdot 1} = \frac{38 - 34}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ У нас получилось два значения для скорости течения: 36 км/ч и 2 км/ч. Но скорость течения не может быть больше собственной скорости катера (иначе катер не смог бы плыть против течения). Скорость катера 18 км/ч. Если скорость течения будет 36 км/ч, то катер не сможет двигаться против течения. Значит, подходит только $$x = 2$$ км/ч. Проверим условия: $$x \neq 0$$, $$x \neq 18$$, $$x \neq -18$$. $$2$$ подходит. **Ответ: Скорость течения реки 2 км/ч.**