Упрости выражение: (a-1)/(a+1) - (a+1)/(a-1) + 2a/(1-a^2)

Привет! Давай разберёмся с этими задачками. ### №1. Упростить выражение: 1. Выражение: $$ \left(\frac{a-1}{a+1} - \frac{a+1}{a-1}\right) + \frac{2a}{1-a^2} $$ Сначала упростим то, что в скобках. Для этого приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $(a+1)(a-1)$, что равно $a^2-1$. $$ \frac{(a-1)(a-1) - (a+1)(a+1)}{(a+1)(a-1)} = \frac{(a-1)^2 - (a+1)^2}{a^2-1} $$ Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы: $(a-1)^2 = a^2 - 2a + 1$ $(a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$ $$ \frac{(a^2 - 2a + 1) - (a^2 + 2a + 1)}{a^2-1} = \frac{a^2 - 2a + 1 - a^2 - 2a - 1}{a^2-1} $$ Сократим похожие слагаемые: $$ \frac{-4a}{a^2-1} $$ Теперь добавим вторую часть выражения. Обрати внимание, что $1-a^2 = -(a^2-1)$. $$ \frac{-4a}{a^2-1} + \frac{2a}{-(a^2-1)} = \frac{-4a}{a^2-1} - \frac{2a}{a^2-1} $$ Теперь у дробей одинаковый знаменатель, можно просто вычесть числители: $$ \frac{-4a - 2a}{a^2-1} = \frac{-6a}{a^2-1} $$ **Ответ: $$\frac{-6a}{a^2-1}$$** 2. Выражение: $$ \frac{a}{a-4} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2} $$ Заметим, что $a-4 = (\sqrt{a})^2 - 2^2 = (\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)$. Тогда первое слагаемое можно переписать так: $$ \frac{a}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} $$ Теперь приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель будет $(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)$. $$ \frac{a}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} - \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+2)}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} $$ Вычтем числители: $$ \frac{a - (\sqrt{a}(\sqrt{a}+2))}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+2)} = \frac{a - (a + 2\sqrt{a})}{a-4} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ \frac{a - a - 2\sqrt{a}}{a-4} = \frac{-2\sqrt{a}}{a-4} $$ **Ответ: $$\frac{-2\sqrt{a}}{a-4}$$** ### №2. Решить уравнение: $$ (6x-5)^2 + (3x-2)(3x+2) = 36 $$ Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ и формулу разности квадратов $(A-B)(A+B) = A^2 - B^2$. $(6x-5)^2 = (6x)^2 - 2 \cdot 6x \cdot 5 + 5^2 = 36x^2 - 60x + 25$ $(3x-2)(3x+2) = (3x)^2 - 2^2 = 9x^2 - 4$ Подставим эти выражения обратно в уравнение: $$ (36x^2 - 60x + 25) + (9x^2 - 4) = 36 $$ Уберём скобки и приведём подобные слагаемые: $$ 36x^2 - 60x + 25 + 9x^2 - 4 = 36 $$ $$ (36x^2 + 9x^2) - 60x + (25 - 4) = 36 $$ $$ 45x^2 - 60x + 21 = 36 $$ Перенесём 36 в левую часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение: $$ 45x^2 - 60x + 21 - 36 = 0 $$ $$ 45x^2 - 60x - 15 = 0 $$ Мы можем упростить это уравнение, разделив все члены на 15: $$ \frac{45x^2}{15} - \frac{60x}{15} - \frac{15}{15} = \frac{0}{15} $$ $$ 3x^2 - 4x - 1 = 0 $$ Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=3$, $b=-4$, $c=-1$. $$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 16 + 12 = 28 $$ Так как $D > 0$, у нас будет два корня: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$ $$ x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + \sqrt{28}}{6} $$ Можно упростить $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$. $$ x_1 = \frac{4 + 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2(2 + \sqrt{7})}{6} = \frac{2 + \sqrt{7}}{3} $$ $$ x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{28}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2(2 - \sqrt{7})}{6} = \frac{2 - \sqrt{7}}{3} $$ **Ответ: $$x_1 = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$$, $$x_2 = \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$$** ### №3. Решить систему неравенств: 1. Неравенство 1: $$(y+6)(5-y) + y(y-1) > 0$$ Раскроем скобки: $$ 5y - y^2 + 30 - 6y + y^2 - y > 0 $$ Приведём подобные слагаемые: $$ (-y^2 + y^2) + (5y - 6y - y) + 30 > 0 $$ $$ 0 - 2y + 30 > 0 $$ $$ -2y + 30 > 0 $$ Перенесём 30 в правую часть: $$ -2y > -30 $$ Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $$ y < \frac{-30}{-2} $$ $$ y < 15 $$ 2. Неравенство 2: $$0,3y(10y + 20) - 3y^2 + 30 > 0$$ Раскроем скобки: $$ 0,3y \cdot 10y + 0,3y \cdot 20 - 3y^2 + 30 > 0 $$ $$ 3y^2 + 6y - 3y^2 + 30 > 0 $$ Приведём подобные слагаемые: $$ (3y^2 - 3y^2) + 6y + 30 > 0 $$ $$ 0 + 6y + 30 > 0 $$ $$ 6y + 30 > 0 $$ Перенесём 30 в правую часть: $$ 6y > -30 $$ Разделим обе части на 6: $$ y > \frac{-30}{6} $$ $$ y > -5 $$ Теперь нам нужно найти такие значения $y$, которые удовлетворяют обоим неравенствам: $y < 15$ и $y > -5$. Это значит, что $y$ находится между -5 и 15. $$ -5 < y < 15 $$ **Ответ: $$y \in (-5; 15)$$** ### №4. Катер проплывает 4 км против течения реки и 15 км по течению за то же время, которое требуется плоту, чтобы проплыть 2 км по этой реке. Найти скорость течения, если собственная скорость катера 18 км/ч. Давай обозначим: * $v_с$ — собственная скорость катера, $v_с = 18$ км/ч. * $v_т$ — скорость течения реки. Это то, что нам нужно найти. * Скорость катера по течению: $v_с + v_т = 18 + v_т$ * Скорость катера против течения: $v_с - v_т = 18 - v_т$ * Скорость плота равна скорости течения: $v_т$ Расстояние (S), скорость (v) и время (t) связаны формулой: $t = \frac{S}{v}$. 1. Время, за которое катер проплывает 4 км против течения: $$ t_{против} = \frac{4}{18 - v_т} $$ 2. Время, за которое катер проплывает 15 км по течению: $$ t_{по} = \frac{15}{18 + v_т} $$ 3. Общее время, которое катер тратит на путь: $$ t_{катера} = t_{против} + t_{по} = \frac{4}{18 - v_т} + \frac{15}{18 + v_т} $$ 4. Время, за которое плот проплывает 2 км: $$ t_{плота} = \frac{2}{v_т} $$ По условию задачи, $t_{катера} = t_{плота}$. Значит, мы можем приравнять выражения для времени: $$ \frac{4}{18 - v_т} + \frac{15}{18 + v_т} = \frac{2}{v_т} $$ Чтобы решить это уравнение, нужно привести дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель: $v_т (18 - v_т)(18 + v_т) = v_т (18^2 - v_т^2) = v_т (324 - v_т^2)$. Домножим каждую дробь на недостающие множители: $$ \frac{4 v_т (18 + v_т) + 15 v_т (18 - v_т)}{v_т (18 - v_т)(18 + v_т)} = \frac{2 (18 - v_т)(18 + v_т)}{v_т (18 - v_т)(18 + v_т)} $$ Так как знаменатели одинаковые, можем приравнять числители: $$ 4 v_т (18 + v_т) + 15 v_т (18 - v_т) = 2 (18^2 - v_т^2) $$ Раскроем скобки: $$ 72v_т + 4v_т^2 + 270v_т - 15v_т^2 = 2 (324 - v_т^2) $$ Приведём подобные слагаемые в левой части: $$ (4v_т^2 - 15v_т^2) + (72v_т + 270v_т) = 648 - 2v_т^2 $$ $$ -11v_т^2 + 342v_т = 648 - 2v_т^2 $$ Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$ -11v_т^2 + 2v_т^2 + 342v_т - 648 = 0 $$ $$ -9v_т^2 + 342v_т - 648 = 0 $$ Разделим всё уравнение на -9, чтобы упростить: $$ v_т^2 - 38v_т + 72 = 0 $$ Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. Здесь $a=1$, $b=-38$, $c=72$. $$ D = (-38)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72 = 1444 - 288 = 1156 $$ Найдём корень из дискриминанта: $\sqrt{1156} = 34$. Теперь найдём значения $v_т$: $$ v_т = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$ $$ v_{т1} = \frac{-(-38) + 34}{2 \cdot 1} = \frac{38 + 34}{2} = \frac{72}{2} = 36 $$ $$ v_{т2} = \frac{-(-38) - 34}{2 \cdot 1} = \frac{38 - 34}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$ Теперь нужно проверить, какой из ответов подходит. Скорость течения $v_т$ не может быть больше собственной скорости катера $v_с$, потому что иначе катер не сможет двигаться против течения. $v_т < v_с$. * Если $v_т = 36$ км/ч, то $36 > 18$, что не подходит. * Если $v_т = 2$ км/ч, то $2 < 18$, что подходит. Значит, скорость течения реки равна 2 км/ч. **Ответ: 2 км/ч**