Укажи допустимые значения переменной в выражении x² - 8x + 9

Привет! Давай разберемся с этими заданиями по алгебре. Помни, что в дробях знаменатель никогда не может быть равен нулю, потому что на ноль делить нельзя. **11. Укажите допустимые значения переменной в выражении:** В этом задании нужно найти, при каких значениях буквы (переменной) знаменатель дроби не равен нулю. Если выражения не содержат дробей, то переменная может быть любой. а) $x^2 - 8x + 9$: Здесь нет деления, поэтому $x$ может быть любым числом. б) $\frac{1}{6x-3}$: Знаменатель $6x-3$ не должен быть равен нулю. $6x-3 \neq 0 \implies 6x \neq 3 \implies x \neq \frac{3}{6} \implies x \neq \frac{1}{2}$. в) $\frac{3x-6}{7}$: Здесь знаменатель всегда равен $7$, он не может быть нулём. Поэтому $x$ может быть любым числом. г) $\frac{x^2-8}{4x(x+1)}$: Знаменатель $4x(x+1)$ не должен быть равен нулю. Значит, $4x \neq 0$ и $x+1 \neq 0$. Из этого следует $x \neq 0$ и $x \neq -1$. д) $\frac{x-5}{x^2+25-3x}$: Знаменатель $x^2+25-3x$ не должен быть равен нулю. Мы можем переписать его как $x^2-3x+25 \neq 0$. Попробуем найти корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 9 - 100 = -91$. Так как дискриминант отрицательный, у уравнения нет действительных корней, а это значит, что $x^2-3x+25$ всегда больше нуля и никогда не будет равно нулю. Поэтому $x$ может быть любым числом. е) $\frac{x}{x+8} + \frac{x-8}{x+8}$: Знаменатель $x+8$ не должен быть равен нулю. $x+8 \neq 0 \implies x \neq -8$. **12. Найдите допустимые значения переменной в выражении:** Это задание похоже на предыдущее. Ищем, при каких значениях буквы знаменатель не равен нулю. а) $\frac{5y-8}{11}$: Знаменатель всегда $11$, не ноль. Значит, $y$ может быть любым числом. б) $\frac{y^2+1}{y^2-2y}$: Знаменатель $y^2-2y$ не должен быть равен нулю. Вынесем $y$ за скобки: $y(y-2) \neq 0$. Значит, $y \neq 0$ и $y-2 \neq 0 \implies y \neq 2$. в) $\frac{y}{y-6} + \frac{15}{y+6}$: Здесь два знаменателя: $y-6$ и $y+6$. Оба не должны быть равны нулю. $y-6 \neq 0 \implies y \neq 6$. И $y+6 \neq 0 \implies y \neq -6$. г) $\frac{y-10}{y^2+3}$: Знаменатель $y^2+3$ не должен быть равен нулю. Мы знаем, что $y^2$ всегда больше или равно $0$. А значит, $y^2+3$ всегда будет больше или равно $3$, и никогда не будет нулём. Поэтому $y$ может быть любым числом. д) $\frac{32}{y} - \frac{y+1}{y+7}$: Здесь два знаменателя: $y$ и $y+7$. Оба не должны быть равны нулю. $y \neq 0$. И $y+7 \neq 0 \implies y \neq -7$. **13. Найдите область определения функции:** Область определения функции — это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл. Для дробей это означает, что знаменатель не должен быть равен нулю. а) $y = \frac{1}{x-2}$: Знаменатель $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$. Область определения: все числа, кроме $2$. б) $y = \frac{2x+3}{x(x+1)}$: Знаменатель $x(x+1) \neq 0$. Значит, $x \neq 0$ и $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$. Область определения: все числа, кроме $0$ и $-1$. в) $y = x + \frac{1}{x+5}$: Знаменатель $x+5 \neq 0 \implies x \neq -5$. Область определения: все числа, кроме $-5$. **14. При каком значении переменной значение дроби $\frac{x-3}{5}$ равно:** Чтобы найти это, нужно приравнять дробь к заданным числам и решить уравнение. а) $1$: $\frac{x-3}{5} = 1 \implies x-3 = 5 \implies x = 8$. б) $0$: $\frac{x-3}{5} = 0 \implies x-3 = 0 \implies x = 3$. в) $-1$: $\frac{x-3}{5} = -1 \implies x-3 = -5 \implies x = -2$. г) $3$: $\frac{x-3}{5} = 3 \implies x-3 = 15 \implies x = 18$. **15. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби:** Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. а) $\frac{y-5}{8}$: Числитель $y-5 = 0 \implies y = 5$. Знаменатель $8 \neq 0$. Значит, при $y=5$ дробь равна $0$. б) $\frac{2y+3}{10}$: Числитель $2y+3 = 0 \implies 2y = -3 \implies y = -\frac{3}{2}$. Знаменатель $10 \neq 0$. Значит, при $y = -\frac{3}{2}$ дробь равна $0$. в) $\frac{x(x-1)}{x+4}$: Числитель $x(x-1) = 0$. Значит, $x=0$ или $x-1=0 \implies x=1$. Проверим знаменатель: если $x=0$, то $0+4=4 \neq 0$. Если $x=1$, то $1+4=5 \neq 0$. Значит, при $x=0$ и $x=1$ дробь равна $0$. г) $\frac{x(x+3)^2}{2x+6}$: Числитель $x(x+3)^2 = 0$. Значит, $x=0$ или $(x+3)^2=0 \implies x+3=0 \implies x=-3$. Проверим знаменатель $2x+6 \neq 0$. Если $x=0$, то $2(0)+6 = 6 \neq 0$. Если $x=-3$, то $2(-3)+6 = -6+6=0$. Ого! Если $x=-3$, знаменатель равен нулю, а так быть не может. Поэтому $x=-3$ не является допустимым значением. Значит, дробь равна $0$ только при $x=0$. **16. Найдите значения переменной, при которых равно нулю значение дроби:** Как и в предыдущем задании, приравниваем числитель к нулю, но следим, чтобы знаменатель при этом не обнулился. а) $\frac{m+4}{6}$: Числитель $m+4 = 0 \implies m=-4$. Знаменатель $6 \neq 0$. Значит, при $m=-4$ дробь равна $0$. б) $\frac{7-5n}{11}$: Числитель $7-5n = 0 \implies 7=5n \implies n = \frac{7}{5}$. Знаменатель $11 \neq 0$. Значит, при $n = \frac{7}{5}$ дробь равна $0$. в) $\frac{b^2-b}{b+2}$: Числитель $b^2-b=0$. Вынесем $b$ за скобки: $b(b-1)=0$. Значит, $b=0$ или $b-1=0 \implies b=1$. Проверим знаменатель $b+2 \neq 0$. Если $b=0$, то $0+2=2 \neq 0$. Если $b=1$, то $1+2=3 \neq 0$. Значит, при $b=0$ и $b=1$ дробь равна $0$. г) $\frac{y^2-25}{3y-15}$: Числитель $y^2-25=0$. Это разность квадратов: $(y-5)(y+5)=0$. Значит, $y-5=0 \implies y=5$ или $y+5=0 \implies y=-5$. Проверим знаменатель $3y-15 \neq 0$. Если $y=5$, то $3(5)-15 = 15-15=0$. Опять знаменатель равен нулю! Значит, $y=5$ не подходит. Если $y=-5$, то $3(-5)-15 = -15-15=-30 \neq 0$. Значит, дробь равна $0$ только при $y=-5$. **17. Определите знак дроби $\frac{a}{b}$, если известно, что:** Знак дроби зависит от знаков числителя и знаменателя. Если они одинаковые (оба плюс или оба минус), дробь будет положительной. Если разные (один плюс, другой минус), дробь будет отрицательной. а) $a > 0$ и $b > 0$: $a$ положительное, $b$ положительное. $(+) / (+) = (+)$. Значит, дробь положительная. б) $a > 0$ и $b < 0$: $a$ положительное, $b$ отрицательное. $(+) / (-) = (-)$. Значит, дробь отрицательная. в) $a < 0$ и $b > 0$: $a$ отрицательное, $b$ положительное. $(-) / (+) = (-)$. Значит, дробь отрицательная. г) $a < 0$ и $b < 0$: $a$ отрицательное, $b$ отрицательное. $(-) / (-) = (+)$. Значит, дробь положительная. **18. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби:** Здесь нужно показать, что дробь всегда будет иметь определённый знак. а) $\frac{3}{x^2+1}$ положительно: Числитель $3$ всегда положительный. Знаменатель $x^2+1$. Мы знаем, что $x^2$ всегда больше или равен $0$. Значит, $x^2+1$ всегда будет больше или равен $1$. То есть знаменатель всегда положительный. Так как числитель положительный и знаменатель положительный, то дробь $\frac{3}{x^2+1}$ всегда положительна. б) $\frac{(a-1)^2}{a^2+10}$ неотрицательно: Числитель $(a-1)^2$. Любое число в квадрате всегда больше или равно $0$. Значит, $(a-1)^2 \geq 0$. Знаменатель $a^2+10$. Мы знаем, что $a^2 \geq 0$. Значит, $a^2+10 \geq 10$. То есть знаменатель всегда положительный. Так как числитель неотрицательный и знаменатель положительный, то дробь $\frac{(a-1)^2}{a^2+10}$ всегда неотрицательна (то есть больше или равна $0$). в) $\frac{-5}{y^2+4}$ отрицательно: Числитель $-5$ всегда отрицательный. Знаменатель $y^2+4$. Мы знаем, что $y^2 \geq 0$. Значит, $y^2+4 \geq 4$. То есть знаменатель всегда положительный. Так как числитель отрицательный и знаменатель положительный, то дробь $\frac{-5}{y^2+4}$ всегда отрицательна. г) $\frac{(b-3)^2}{-b^2-1}$ неположительно: Числитель $(b-3)^2$. Любое число в квадрате всегда больше или равно $0$. Значит, $(b-3)^2 \geq 0$. Знаменатель $-b^2-1$. Мы знаем, что $b^2 \geq 0$. Значит, $-b^2 \leq 0$. Тогда $-b^2-1 \leq -1$. То есть знаменатель всегда отрицательный. Так как числитель неотрицательный и знаменатель отрицательный, то дробь $\frac{(b-3)^2}{-b^2-1}$ всегда неположительна (то есть меньше или равна $0$). **19. При каком значении $a$ принимает наибольшее значение дробь:** Чтобы дробь была наибольшей, её числитель должен быть как можно больше, а знаменатель как можно меньше (но не ноль!). а) $\frac{4}{a^2+5}$: Числитель $4$ всегда постоянен. Чтобы дробь была наибольшей, её знаменатель $a^2+5$ должен быть наименьшим. Мы знаем, что $a^2 \geq 0$. Наименьшее значение $a^2$ равно $0$, когда $a=0$. Тогда наименьшее значение знаменателя $0+5=5$. При $a=0$ дробь будет $\frac{4}{0^2+5} = \frac{4}{5}$. Это и будет наибольшее значение. **Ответ: $a=0$** б) $\frac{10}{(a-3)^2+1}$: Числитель $10$ всегда постоянен. Чтобы дробь была наибольшей, её знаменатель $(a-3)^2+1$ должен быть наименьшим. Мы знаем, что $(a-3)^2 \geq 0$. Наименьшее значение $(a-3)^2$ равно $0$, когда $a-3=0 \implies a=3$. Тогда наименьшее значение знаменателя $0+1=1$. При $a=3$ дробь будет $\frac{10}{(3-3)^2+1} = \frac{10}{0^2+1} = \frac{10}{1} = 10$. Это и будет наибольшее значение. **Ответ: $a=3$**