Укажи допустимые значения переменной в выражении $x^2 - 8x + 9$.

Привет! Давай разберемся с этими задачами. ### Задание 11. Укажите допустимые значения переменной в выражении: Чтобы выражение имело смысл, мы не можем делить на ноль или извлекать квадратный корень из отрицательного числа. В этих заданиях у нас только деление, поэтому знаменатель не должен быть равен нулю. a) $x^2 - 8x + 9$: Здесь нет деления, поэтому $x$ может быть любым числом. **Допустимые значения: $x$ — любое число.** б) $\frac{1}{6x-3}$: Знаменатель $6x-3$ не должен быть равен нулю. $6x - 3 = 0$ $6x = 3$ $x = \frac{3}{6}$ $x = \frac{1}{2}$ **Допустимые значения: $x \neq \frac{1}{2}$** в) $\frac{3x-6}{7}$: Здесь знаменатель — число $7$, которое никогда не равно нулю. Поэтому $x$ может быть любым числом. **Допустимые значения: $x$ — любое число.** г) $\frac{x^2-8}{4x(x+1)}$: Знаменатель $4x(x+1)$ не должен быть равен нулю. Это значит, что ни $x$, ни $x+1$ не должны быть равны нулю. $4x = 0 \implies x = 0$ $x+1 = 0 \implies x = -1$ **Допустимые значения: $x \neq 0$ и $x \neq -1$** д) $\frac{x-5}{x^2+25 - 3x}$: Знаменатель $x^2+25-3x$ не должен быть равен нулю. Давайте его разберем. $x^2 - 3x + 25 = 0$ Чтобы найти, когда это равно нулю, можно попробовать найти дискриминант $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=1$, $b=-3$, $c=25$. $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 9 - 100 = -91$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это значит, что знаменатель $x^2 - 3x + 25$ никогда не равен нулю при любых действительных $x$. **Допустимые значения: $x$ — любое число.** е) $\frac{x}{x+8} + \frac{x-8}{x+8}$: Здесь у нас два выражения, но знаменатель у них одинаковый: $x+8$. Он не должен быть равен нулю. $x+8 = 0 \implies x = -8$ **Допустимые значения: $x \neq -8$** ### Задание 12. Найдите допустимые значения переменной в выражении: Поступаем так же, как в Задании 11 — следим, чтобы знаменатель не был равен нулю. a) $\frac{5y-8}{11}$: Знаменатель — число $11$, которое никогда не равно нулю. **Допустимые значения: $y$ — любое число.** б) $\frac{y^2+1}{y^2-2y}$: Знаменатель $y^2-2y$ не должен быть равен нулю. Вынесем $y$ за скобки: $y(y-2) = 0$ Это значит, что $y=0$ или $y-2=0 \implies y=2$. **Допустимые значения: $y \neq 0$ и $y \neq 2$** г) $\frac{y-10}{y^2+3}$: Знаменатель $y^2+3$ не должен быть равен нулю. Поскольку $y^2$ всегда больше или равен нулю ($y^2 \ge 0$), то $y^2+3$ всегда будет больше или равно $3$ ($y^2+3 \ge 3$). Значит, $y^2+3$ никогда не равно нулю. **Допустимые значения: $y$ — любое число.** ### Задание 13. Найдите область определения функции: Область определения — это все допустимые значения переменной, при которых функция имеет смысл. Здесь тоже главное, чтобы знаменатель не был равен нулю. a) $y = \frac{1}{x-2}$: Знаменатель $x-2$ не должен быть равен нулю. $x-2 = 0 \implies x = 2$ **Область определения: $x \neq 2$** б) $y = \frac{2x+3}{x(x+1)}$: Знаменатель $x(x+1)$ не должен быть равен нулю. $x = 0$ $x+1 = 0 \implies x = -1$ **Область определения: $x \neq 0$ и $x \neq -1$** в) $y = x + \frac{1}{x+5}$: Здесь у нас есть дробь $\frac{1}{x+5}$. Знаменатель $x+5$ не должен быть равен нулю. $x+5 = 0 \implies x = -5$ **Область определения: $x \neq -5$** ### Задание 14. При каком значении переменной значение дроби $\frac{x-3}{5}$ равно: Мы хотим найти $x$, когда дробь равна определенному числу. Приравняем дробь к заданным значениям. a) 1: $\frac{x-3}{5} = 1$ Умножим обе стороны на $5$: $x-3 = 5$ Прибавим $3$ к обеим сторонам: $x = 5+3 = 8$ **Ответ: $x=8$** б) 0: $\frac{x-3}{5} = 0$ Умножим обе стороны на $5$: $x-3 = 0$ Прибавим $3$ к обеим сторонам: $x = 3$ **Ответ: $x=3$** в) -1: $\frac{x-3}{5} = -1$ Умножим обе стороны на $5$: $x-3 = -5$ Прибавим $3$ к обеим сторонам: $x = -5+3 = -2$ **Ответ: $x=-2$** г) 3? $\frac{x-3}{5} = 3$ Умножим обе стороны на $5$: $x-3 = 15$ Прибавим $3$ к обеим сторонам: $x = 15+3 = 18$ **Ответ: $x=18$** ### Задание 15. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби: Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. a) $\frac{y-5}{8}$: Числитель $y-5$ должен быть равен нулю. $y-5 = 0 \implies y = 5$ Знаменатель $8$ никогда не равен нулю, так что это подходит. **Ответ: $y=5$** б) $\frac{2y+3}{10}$: Числитель $2y+3$ должен быть равен нулю. $2y+3 = 0$ $2y = -3$ $y = -\frac{3}{2}$ Знаменатель $10$ никогда не равен нулю, так что это подходит. **Ответ: $y = -\frac{3}{2}$** в) $\frac{x(x-1)}{x+4}$: Числитель $x(x-1)$ должен быть равен нулю. Это значит, что $x=0$ или $x-1=0 \implies x=1$. Проверим знаменатель: $x+4 \neq 0 \implies x \neq -4$. Оба наших значения ($0$ и $1$) не равны $-4$, поэтому они подходят. **Ответ: $x=0$ или $x=1$** г) $\frac{x(x+3)^2}{2x+6}$: Числитель $x(x+3)^2$ должен быть равен нулю. Это значит, что $x=0$ или $(x+3)^2=0 \implies x+3=0 \implies x=-3$. Проверим знаменатель: $2x+6 \neq 0$. $2(x+3) \neq 0 \implies x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$. Значение $x=0$ подходит, так как $0 \neq -3$. Значение $x=-3$ не подходит, потому что при $x=-3$ знаменатель будет равен нулю. **Ответ: $x=0$** ### Задание 16. Найдите значения переменной, при которых равно нулю значение дроби: Снова ищем, когда числитель равен нулю, при условии, что знаменатель не равен нулю. a) $\frac{m+4}{6}$: Числитель $m+4 = 0 \implies m = -4$. Знаменатель $6 \neq 0$. Значит, это подходит. **Ответ: $m=-4$** б) $\frac{7-5n}{11}$: Числитель $7-5n = 0$. $7 = 5n$ $n = \frac{7}{5}$ Знаменатель $11 \neq 0$. Значит, это подходит. **Ответ: $n=\frac{7}{5}$** в) $\frac{b^2-b}{b+2}$: Числитель $b^2-b = 0$. Вынесем $b$ за скобки: $b(b-1) = 0$. Значит, $b=0$ или $b-1=0 \implies b=1$. Знаменатель $b+2 \neq 0 \implies b \neq -2$. Оба наших значения ($0$ и $1$) не равны $-2$, поэтому они подходят. **Ответ: $b=0$ или $b=1$** г) $\frac{y^2-25}{3y-15}$: Числитель $y^2-25 = 0$. Это разность квадратов: $(y-5)(y+5) = 0$. Значит, $y-5=0 \implies y=5$ или $y+5=0 \implies y=-5$. Знаменатель $3y-15 \neq 0$. $3(y-5) \neq 0 \implies y-5 \neq 0 \implies y \neq 5$. Значение $y=-5$ подходит, так как $-5 \neq 5$. Значение $y=5$ не подходит, потому что при $y=5$ знаменатель будет равен нулю. **Ответ: $y=-5$** ### Задание 17. Определите знак дроби $\frac{a}{b}$, если известно, что: Чтобы определить знак дроби, нужно посмотреть на знаки числителя и знаменателя. Если знаки одинаковые (оба положительные или оба отрицательные), то дробь положительная. Если знаки разные (один положительный, другой отрицательный), то дробь отрицательная. a) $a > 0$ и $b > 0$: $a$ положительное, $b$ положительное. Знаки одинаковые. **Дробь $\frac{a}{b}$ положительная.** б) $a > 0$ и $b < 0$: $a$ положительное, $b$ отрицательное. Знаки разные. **Дробь $\frac{a}{b}$ отрицательная.** в) $a < 0$ и $b > 0$: $a$ отрицательное, $b$ положительное. Знаки разные. **Дробь $\frac{a}{b}$ отрицательная.** г) $a < 0$ и $b < 0$: $a$ отрицательное, $b$ отрицательное. Знаки одинаковые. **Дробь $\frac{a}{b}$ положительная.** ### Задание 18. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби: Мы должны показать, что выражение всегда будет иметь заданный знак. a) $\frac{3}{x^2+1}$ положительно; Числитель $3$ всегда положительный. Знаменатель $x^2+1$: $x^2$ всегда больше или равен нулю ($x^2 \ge 0$). Поэтому $x^2+1$ всегда будет больше или равно $1$ ($x^2+1 \ge 1$). Значит, знаменатель всегда положительный. Так как числитель и знаменатель всегда положительные, то и вся дробь всегда положительная. **Доказано.** в) $\frac{(a-1)^2}{a^2+10}$ неотрицательно; Неотрицательное — это значит больше или равно нулю (положительное или равно нулю). Числитель $(a-1)^2$: любое число в квадрате всегда больше или равно нулю. Значит, $(a-1)^2 \ge 0$. Знаменатель $a^2+10$: $a^2$ всегда больше или равно нулю ($a^2 \ge 0$). Поэтому $a^2+10$ всегда будет больше или равно $10$ ($a^2+10 \ge 10$). Значит, знаменатель всегда положительный (и не равен нулю). Так как числитель больше или равен нулю, а знаменатель всегда положительный, то вся дробь $\frac{\text{неотрицательное}}{\text{положительное}}$ будет неотрицательной. **Доказано.** б) $\frac{-5}{y^2+4}$ отрицательно; Числитель $-5$ всегда отрицательный. Знаменатель $y^2+4$: $y^2$ всегда больше или равно нулю ($y^2 \ge 0$). Поэтому $y^2+4$ всегда будет больше или равно $4$ ($y^2+4 \ge 4$). Значит, знаменатель всегда положительный. Так как числитель отрицательный, а знаменатель положительный, то вся дробь всегда отрицательная. **Доказано.** г) $\frac{-(b-3)^2}{-b^2-1}$ неположительно. Неположительное — это значит меньше или равно нулю (отрицательное или равно нулю). Числитель $-(b-3)^2$: $(b-3)^2$ всегда больше или равно нулю. Если перед ним стоит минус, то $-(b-3)^2$ всегда будет меньше или равно нулю. Значит, числитель неположительный. Знаменатель $-b^2-1$: $b^2$ всегда больше или равно нулю, поэтому $-b^2$ всегда меньше или равно нулю. Тогда $-b^2-1$ всегда будет меньше или равно $-1$. Значит, знаменатель всегда отрицательный и не равен нулю. Мы имеем дробь $\frac{\text{неположительное}}{\text{отрицательное}}$. Если числитель равен нулю, то вся дробь равна нулю (что является неположительным числом). Если числитель отрицательный, а знаменатель отрицательный, то дробь будет положительной (минус на минус дает плюс). Это противоречит тому, что нужно доказать, что дробь неположительна. Давайте перепроверим условие: $\frac{-(b-3)^2}{-b^2-1}$. $$-(b-3)^2 \le 0$$ $$-b^2-1 < 0$$ (так как $-b^2 \le 0$, то $-b^2-1$ всегда будет отрицательным, например $-0-1=-1$ или $-9-1=-10$) Итак, у нас есть $\frac{\text{неположительное число}}{\text{отрицательное число}}$. Если числитель равен $0$, то дробь равна $0$. $0$ — это неположительное число. Если числитель строго отрицательный (например, $-(1-3)^2 = -(-2)^2 = -4$), а знаменатель строго отрицательный (например, $-(1)^2-1 = -1-1 = -2$), то $\frac{-4}{-2} = 2$. Это положительное число, а не неположительное. **Допущение: В условии г) допущена ошибка. Скорее всего, имелось в виду, что дробь будет положительной или неотрицательной, или знаки в выражении должны быть другими.** Если бы было, например, $\frac{-(b-3)^2}{b^2+1}$, то тогда числитель был бы неположительным, а знаменатель всегда положительным, и тогда вся дробь была бы неположительной. Или если было бы $\frac{(b-3)^2}{-b^2-1}$, то числитель неотрицательный, знаменатель отрицательный, и вся дробь была бы неположительной. Поскольку в текущем виде, при $b \neq 3$, числитель отрицательный и знаменатель отрицательный, дробь будет положительной. Только при $b=3$ дробь будет $0$, что является неположительным. Но это не для *любого* значения переменной. ### Задание 19. При каком значении $a$ принимает наибольшее значение дробь: Чтобы дробь была наибольшей, мы хотим, чтобы числитель был как можно больше (если он положительный) и знаменатель был как можно меньше (но положительный). a) $\frac{4}{a^2+5}$ Числитель $4$ — постоянное положительное число. Знаменатель $a^2+5$: чтобы дробь была наибольшей, знаменатель должен быть наименьшим. Выражение $a^2$ всегда больше или равно $0$ ($a^2 \ge 0$). Самое маленькое значение $a^2$ принимает, когда $a=0$. В этом случае $a^2=0$. Тогда наименьшее значение знаменателя будет $0+5=5$. При $a=0$, дробь равна $\frac{4}{0^2+5} = \frac{4}{5}$. Это и будет наибольшее значение. **Ответ: $a=0$** б) $\frac{10}{(a-3)^2+1}$ Числитель $10$ — постоянное положительное число. Знаменатель $(a-3)^2+1$: чтобы дробь была наибольшей, знаменатель должен быть наименьшим. Выражение $(a-3)^2$ всегда больше или равно $0$ ($(a-3)^2 \ge 0$). Самое маленькое значение $(a-3)^2$ принимает, когда $a-3=0$, то есть $a=3$. В этом случае $(a-3)^2=0$. Тогда наименьшее значение знаменателя будет $0+1=1$. При $a=3$, дробь равна $\frac{10}{(3-3)^2+1} = \frac{10}{0^2+1} = \frac{10}{1} = 10$. Это и будет наибольшее значение. **Ответ: $a=3$**