Укажи допустимые значения переменной в выражении x² - 8x + 9.

Привет! Давай разберемся с этими заданиями про дроби и выражения. ### 11. Укажите допустимые значения переменной в выражении: Мы ищем такие значения переменной, при которых выражение имеет смысл. Для дроби это значит, что знаменатель не должен быть равен нулю. a) $x^2 - 8x + 9$: Здесь нет дробей, поэтому $x$ может быть любым числом. **Допустимые значения: $x$ — любое число.** б) $\frac{1}{6x - 3}$: Знаменатель $6x - 3$ не должен быть равен $0$. $6x - 3 = 0$ $6x = 3$ $x = \frac{3}{6}$ $x = 0,5$ Значит, $x$ не может быть равен $0,5$. **Допустимые значения: $x \neq 0,5$.** в) $\frac{3x - 6}{7}$: Здесь знаменатель равен $7$, и он никогда не будет равен $0$. **Допустимые значения: $x$ — любое число.** г) $\frac{x^2 - 8}{4x(x+1)}$: Знаменатель $4x(x+1)$ не должен быть равен $0$. $4x = 0$ или $x+1 = 0$ $x = 0$ или $x = -1$ Значит, $x$ не может быть равен $0$ или $-1$. **Допустимые значения: $x \neq 0, x \neq -1$.** д) $\frac{x - 5}{x^2 + 25 - 3x}$: Знаменатель $x^2 + 25 - 3x$ не должен быть равен $0$. Это квадратное уравнение. Давай перепишем его как $x^2 - 3x + 25 = 0$. Посчитаем дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 9 - 100 = -91$. Так как дискриминант отрицательный, у этого уравнения нет действительных корней, а значит, знаменатель никогда не будет равен $0$. **Допустимые значения: $x$ — любое число.** е) $\frac{x}{x+8} + \frac{x - 8}{x+8}$: Здесь у нас два знаменателя, и оба они $x+8$. Значит, $x+8$ не должен быть равен $0$. $x+8 = 0$ $x = -8$ Значит, $x$ не может быть равен $-8$. **Допустимые значения: $x \neq -8$.** ### 12. Найдите допустимые значения переменной в выражении: Это задание такое же, как и предыдущее. Главное — чтобы знаменатель не был равен нулю. a) $\frac{5y - 8}{11}$: Знаменатель $11$ никогда не равен $0$. **Допустимые значения: $y$ — любое число.** б) $\frac{y^2 + 1}{y^2 - 2y}$: Знаменатель $y^2 - 2y$ не должен быть равен $0$. Вынесем $y$ за скобки: $y(y - 2) = 0$. $y = 0$ или $y - 2 = 0$ $y = 0$ или $y = 2$ Значит, $y$ не может быть равен $0$ или $2$. **Допустимые значения: $y \neq 0, y \neq 2$.** в) $\frac{y}{y - 6} + \frac{15}{y + 6}$: Здесь у нас два знаменателя: $y-6$ и $y+6$. Оба не должны быть равны $0$. $y - 6 = 0 \Rightarrow y = 6$ $y + 6 = 0 \Rightarrow y = -6$ Значит, $y$ не может быть равен $6$ или $-6$. **Допустимые значения: $y \neq 6, y \neq -6$.** г) $\frac{y - 10}{y^2 + 3}$: Знаменатель $y^2 + 3$ не должен быть равен $0$. Квадрат числа ($y^2$) всегда неотрицательный ($y^2 \ge 0$). Если к нему прибавить $3$, то сумма ($y^2 + 3$) всегда будет больше или равна $3$, а значит, никогда не будет равна $0$. **Допустимые значения: $y$ — любое число.** д) $\frac{32}{y} - \frac{y + 1}{y + 7}$: Здесь у нас два знаменателя: $y$ и $y+7$. Оба не должны быть равны $0$. $y = 0$ $y + 7 = 0 \Rightarrow y = -7$ Значит, $y$ не может быть равен $0$ или $-7$. **Допустимые значения: $y \neq 0, y \neq -7$.** ### 13. Найдите область определения функции: Область определения — это все допустимые значения переменной, то есть такие, при которых выражение имеет смысл. Снова смотрим на знаменатели. a) $y = \frac{1}{x - 2}$: Знаменатель $x - 2$ не должен быть равен $0$. $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ Значит, $x$ не может быть равен $2$. **Область определения: $x \neq 2$.** б) $y = \frac{2x + 3}{x(x+1)}$: Знаменатель $x(x+1)$ не должен быть равен $0$. $x = 0$ или $x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$ Значит, $x$ не может быть равен $0$ или $-1$. **Область определения: $x \neq 0, x \neq -1$.** в) $y = x + \frac{1}{x + 5}$: Знаменатель $x + 5$ не должен быть равен $0$. $x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$ Значит, $x$ не может быть равен $-5$. **Область определения: $x \neq -5$.** ### 14. При каком значении переменной значение дроби $\frac{x-3}{5}$ равно: Чтобы дробь была равна какому-то числу, нужно просто приравнять ее к этому числу и решить уравнение. a) $1$: $\frac{x-3}{5} = 1$ $x - 3 = 1 \cdot 5$ $x - 3 = 5$ $x = 5 + 3$ $x = 8$ **Ответ: $x = 8$.** б) $0$: $\frac{x-3}{5} = 0$ $x - 3 = 0 \cdot 5$ $x - 3 = 0$ $x = 3$ **Ответ: $x = 3$.** в) $-1$: $\frac{x-3}{5} = -1$ $x - 3 = -1 \cdot 5$ $x - 3 = -5$ $x = -5 + 3$ $x = -2$ **Ответ: $x = -2$.** г) $3$: $\frac{x-3}{5} = 3$ $x - 3 = 3 \cdot 5$ $x - 3 = 15$ $x = 15 + 3$ $x = 18$ **Ответ: $x = 18$.** ### 15. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби: Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. a) $\frac{y - 5}{8}$: Числитель $y - 5$ должен быть равен $0$. $y - 5 = 0$ $y = 5$ Знаменатель $8$ никогда не равен $0$, так что это нам подходит. **Ответ: $y = 5$.** б) $\frac{2y + 3}{10}$: Числитель $2y + 3$ должен быть равен $0$. $2y + 3 = 0$ $2y = -3$ $y = -\frac{3}{2}$ $y = -1,5$ Знаменатель $10$ никогда не равен $0$. **Ответ: $y = -1,5$.** в) $\frac{x(x - 1)}{x + 4}$: Числитель $x(x - 1)$ должен быть равен $0$, а знаменатель $x + 4$ не должен быть равен $0$. $x(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$. Проверим знаменатель: если $x = 0$, то $x + 4 = 4 \neq 0$. Если $x = 1$, то $x + 4 = 5 \neq 0$. Оба значения подходят. **Ответ: $x = 0, x = 1$.** г) $\frac{x(x + 3)}{2x + 6}$: Числитель $x(x + 3)$ должен быть равен $0$, а знаменатель $2x + 6$ не должен быть равен $0$. $x(x + 3) = 0 \Rightarrow x = 0$ или $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$. Проверим знаменатель: $2x + 6 = 0 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x = -3$. Ой, если $x = -3$, то знаменатель тоже равен $0$. А на ноль делить нельзя! Значит, $x = -3$ не подходит. А вот $x = 0$ подходит, потому что $2(0) + 6 = 6 \neq 0$. **Ответ: $x = 0$.** ### 16. Найдите значения переменной, при которых равно нулю значение дроби: Это точно такое же задание, как и 15. Ищем, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. a) $\frac{m + 4}{6}$: Числитель $m + 4 = 0 \Rightarrow m = -4$. Знаменатель $6 \neq 0$. **Ответ: $m = -4$.** б) $\frac{7 - 5n}{11}$: Числитель $7 - 5n = 0 \Rightarrow 5n = 7 \Rightarrow n = \frac{7}{5} = 1,4$. Знаменатель $11 \neq 0$. **Ответ: $n = 1,4$.** в) $\frac{b^2 - b}{b + 2}$: Числитель $b^2 - b = 0 \Rightarrow b(b - 1) = 0 \Rightarrow b = 0$ или $b = 1$. Знаменатель $b + 2 \neq 0 \Rightarrow b \neq -2$. Оба значения ($0$ и $1$) подходят. **Ответ: $b = 0, b = 1$.** г) $\frac{y^2 - 25}{3y - 15}$: Числитель $y^2 - 25 = 0 \Rightarrow (y - 5)(y + 5) = 0 \Rightarrow y = 5$ или $y = -5$. Знаменатель $3y - 15 \neq 0 \Rightarrow 3(y - 5) \neq 0 \Rightarrow y - 5 \neq 0 \Rightarrow y \neq 5$. Ой, если $y = 5$, то знаменатель равен $0$. Значит, $y = 5$ не подходит. А вот $y = -5$ подходит, потому что $3(-5) - 15 = -15 - 15 = -30 \neq 0$. **Ответ: $y = -5$.** ### 17. Определите знак дроби $\frac{a}{b}$, если известно, что: Вспомним правила: плюс на плюс даёт плюс, минус на минус даёт плюс, плюс на минус (или минус на плюс) даёт минус. a) $a > 0$ и $b > 0$: Это значит, что $a$ положительное, и $b$ положительное. Плюс делим на плюс, получаем плюс. **Ответ: Дробь положительная.** б) $a > 0$ и $b < 0$: Это значит, что $a$ положительное, и $b$ отрицательное. Плюс делим на минус, получаем минус. **Ответ: Дробь отрицательная.** в) $a < 0$ и $b > 0$: Это значит, что $a$ отрицательное, и $b$ положительное. Минус делим на плюс, получаем минус. **Ответ: Дробь отрицательная.** г) $a < 0$ и $b < 0$: Это значит, что $a$ отрицательное, и $b$ отрицательное. Минус делим на минус, получаем плюс. **Ответ: Дробь положительная.** ### 18. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби: Нужно показать, что дробь всегда будет иметь указанный знак. a) $\frac{3}{x^2 + 1}$ положительно: Числитель $3$ всегда положительный. Знаменатель $x^2 + 1$. Так как $x^2$ всегда больше или равен $0$ ($x^2 \ge 0$), то $x^2 + 1$ всегда будет больше или равен $1$ ($x^2 + 1 \ge 1$). Значит, знаменатель всегда положительный. Если числитель положительный и знаменатель положительный, то вся дробь положительная. **Что и требовалось доказать.** б) $\frac{(a - 1)^2}{a^2 + 10}$ неотрицательно: Числитель $(a - 1)^2$ — это квадрат числа, он всегда больше или равен $0$ ($(a - 1)^2 \ge 0$). Знаменатель $a^2 + 10$. Так как $a^2 \ge 0$, то $a^2 + 10 \ge 10$. Значит, знаменатель всегда положительный. Если числитель неотрицательный и знаменатель положительный, то вся дробь будет неотрицательной (то есть больше или равна $0$). **Что и требовалось доказать.** в) $\frac{-5}{y^2 + 4}$ отрицательно: Числитель $-5$ всегда отрицательный. Знаменатель $y^2 + 4$. Так как $y^2 \ge 0$, то $y^2 + 4 \ge 4$. Значит, знаменатель всегда положительный. Если числитель отрицательный и знаменатель положительный, то вся дробь отрицательная. **Что и требовалось доказать.** г) $\frac{(b - 3)^2}{-b^2 - 1}$ неположительно: Числитель $(b - 3)^2$ всегда больше или равен $0$ ($(b - 3)^2 \ge 0$). Знаменатель $-b^2 - 1$. Так как $b^2 \ge 0$, то $-b^2 \le 0$. Тогда $-b^2 - 1$ будет всегда меньше или равно $-1$ ($-b^2 - 1 \le -1$). Значит, знаменатель всегда отрицательный. Если числитель неотрицательный, а знаменатель отрицательный, то вся дробь будет неположительной (то есть меньше или равна $0$). **Что и требовалось доказать.** ### 19. При каком значении $a$ принимает наибольшее значение дробь: Чтобы дробь была наибольшей, числитель должен быть как можно больше (или наименее отрицательным), а знаменатель — как можно меньше (но не ноль, и положительный). a) $\frac{4}{a^2 + 5}$: Числитель $4$ всегда положительный. Чтобы дробь была наибольшей, её знаменатель $a^2 + 5$ должен быть наименьшим. Мы знаем, что $a^2 \ge 0$. Значит, самое маленькое значение $a^2$ — это $0$ (когда $a = 0$). Тогда наименьшее значение знаменателя будет $0 + 5 = 5$. При этом $a = 0$. Значение дроби будет $\frac{4}{0^2 + 5} = \frac{4}{5}$. **Ответ: Наибольшее значение при $a = 0$.** б) $\frac{10}{(a - 3)^2 + 1}$: Числитель $10$ всегда положительный. Чтобы дробь была наибольшей, её знаменатель $(a - 3)^2 + 1$ должен быть наименьшим. Мы знаем, что $(a - 3)^2 \ge 0$. Наименьшее значение $(a - 3)^2$ — это $0$ (когда $a - 3 = 0 \Rightarrow a = 3$). Тогда наименьшее значение знаменателя будет $0 + 1 = 1$. При этом $a = 3$. Значение дроби будет $\frac{10}{(3 - 3)^2 + 1} = \frac{10}{0^2 + 1} = \frac{10}{1} = 10$. **Ответ: Наибольшее значение при $a = 3$.**