Укажи допустимые значения переменной в выражениях: a) x² - 8x + 9; б) 1/6x-3

11. Чтобы найти допустимые значения переменной, мы должны убедиться, что в дробях знаменатель не равен нулю. а) $x^2 - 8x + 9$: Здесь нет деления, поэтому $x$ может быть любым числом. Все числа. б) $\frac{1}{6x-3}$: Знаменатель $6x-3$ не должен быть равен нулю. $6x-3 = 0 \Rightarrow 6x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{6} \Rightarrow x = 0.5$. Значит, $x \neq 0.5$. в) $\frac{3x-6}{7}$: Знаменатель равен 7, это не ноль. $x$ может быть любым числом. Все числа. г) $\frac{x^2-8}{4x(x+1)}$: Знаменатель $4x(x+1)$ не должен быть равен нулю. Это значит, что $4x \neq 0$ и $x+1 \neq 0$. Значит, $x \neq 0$ и $x \neq -1$. д) $\frac{x-5}{x^2+25-3x}$: Знаменатель $x^2+25-3x$ не должен быть равен нулю. Это квадратное уравнение, его корни нужно найти. $x^2 - 3x + 25 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 9 - 100 = -91$. Так как дискриминант отрицательный, корней нет, и знаменатель никогда не будет равен нулю. $x$ может быть любым числом. Все числа. е) $\frac{x}{x+8} + \frac{x-8}{x+8}$: Здесь два знаменателя, и оба $x+8$. Значит, $x+8 \neq 0 \Rightarrow x \neq -8$. 12. Чтобы найти допустимые значения переменной, знаменатель не должен быть равен нулю. а) $\frac{5y-8}{11}$: Знаменатель равен 11, это не ноль. $y$ может быть любым числом. Все числа. б) $\frac{y^2+1}{y^2-2y}$: Знаменатель $y^2-2y$ не должен быть равен нулю. $y(y-2) \neq 0$. Значит, $y \neq 0$ и $y-2 \neq 0 \Rightarrow y \neq 2$. в) $\frac{y^2+1}{y^2-6}$: Знаменатель $y^2-6$ не должен быть равен нулю. $y^2 \neq 6 \Rightarrow y \neq \sqrt{6}$ и $y \neq -\sqrt{6}$. г) $\frac{y-10}{y^2+3}$: Знаменатель $y^2+3$ не должен быть равен нулю. Так как $y^2$ всегда больше или равно 0, то $y^2+3$ всегда больше 3. Значит, знаменатель никогда не будет равен нулю. $y$ может быть любым числом. Все числа. д) $\frac{y}{y-6} + \frac{15}{y+6}$: Здесь два знаменателя: $y-6$ и $y+6$. Оба не должны быть равны нулю. Значит, $y-6 \neq 0 \Rightarrow y \neq 6$ и $y+6 \neq 0 \Rightarrow y \neq -6$. е) $\frac{32}{y} - \frac{y+1}{y+7}$: Здесь два знаменателя: $y$ и $y+7$. Оба не должны быть равны нулю. Значит, $y \neq 0$ и $y+7 \neq 0 \Rightarrow y \neq -7$. 13. Чтобы найти область определения функции, нужно убедиться, что знаменатель не равен нулю. а) $y = \frac{1}{x-2}$: Знаменатель $x-2$ не должен быть равен нулю. $x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$. б) $y = \frac{2x+3}{x(x+1)}$: Знаменатель $x(x+1)$ не должен быть равен нулю. Значит, $x \neq 0$ и $x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. в) $y = x + \frac{1}{x+5}$: Знаменатель $x+5$ не должен быть равен нулю. $x+5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$. 14. При каком значении переменной значение дроби $\frac{x-3}{5}$ равно: а) 1: $\frac{x-3}{5} = 1$. Умножим обе стороны на 5: $x-3 = 5 \Rightarrow x = 5+3 \Rightarrow x = 8$. б) 0: $\frac{x-3}{5} = 0$. Умножим обе стороны на 5: $x-3 = 0 \Rightarrow x = 3$. в) -1: $\frac{x-3}{5} = -1$. Умножим обе стороны на 5: $x-3 = -5 \Rightarrow x = -5+3 \Rightarrow x = -2$. г) 3?: Это, видимо, опечатка и имеется в виду 3. $\frac{x-3}{5} = 3$. Умножим обе стороны на 5: $x-3 = 15 \Rightarrow x = 15+3 \Rightarrow x = 18$. 15. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби: Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. а) $\frac{y-5}{8}$: Числитель $y-5 = 0 \Rightarrow y = 5$. Знаменатель 8 не равен нулю. **Ответ: $y=5$** б) $\frac{2y+3}{10}$: Числитель $2y+3 = 0 \Rightarrow 2y = -3 \Rightarrow y = -1.5$. Знаменатель 10 не равен нулю. **Ответ: $y=-1.5$** в) $\frac{x(x-1)}{x+4}$: Числитель $x(x-1) = 0$. Значит, $x=0$ или $x-1=0 \Rightarrow x=1$. Знаменатель $x+4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4$. Оба значения, 0 и 1, не равны -4. **Ответ: $x=0$ или $x=1$** г) $\frac{x(x+3)}{2x+6}$: Числитель $x(x+3) = 0$. Значит, $x=0$ или $x+3=0 \Rightarrow x=-3$. Знаменатель $2x+6 = 2(x+3)$. Он не должен быть равен нулю, то есть $x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$. Значение $x=-3$ делает знаменатель равным нулю, поэтому оно не подходит. **Ответ: $x=0$** 16. Найдите значения переменной, при которых равно нулю значение дроби: а) $\frac{m+4}{6}$: Числитель $m+4 = 0 \Rightarrow m = -4$. Знаменатель 6 не равен нулю. **Ответ: $m=-4$** б) $\frac{7-5n}{11}$: Числитель $7-5n = 0 \Rightarrow 5n = 7 \Rightarrow n = \frac{7}{5} = 1.4$. Знаменатель 11 не равен нулю. **Ответ: $n=1.4$** в) $\frac{b^2-b}{b+2}$: Числитель $b^2-b = 0 \Rightarrow b(b-1) = 0$. Значит, $b=0$ или $b-1=0 \Rightarrow b=1$. Знаменатель $b+2 \neq 0 \Rightarrow b \neq -2$. Оба значения, 0 и 1, не равны -2. **Ответ: $b=0$ или $b=1$** г) $\frac{y^2-25}{3y-15}$: Числитель $y^2-25 = 0 \Rightarrow y^2 = 25 \Rightarrow y = 5$ или $y = -5$. Знаменатель $3y-15 = 3(y-5)$. Он не должен быть равен нулю, то есть $y-5 \neq 0 \Rightarrow y \neq 5$. Значение $y=5$ делает знаменатель равным нулю, поэтому оно не подходит. **Ответ: $y=-5$** 17. Определите знак дроби $\frac{a}{b}$, если известно, что: а) $a > 0$ и $b > 0$: Если $a$ положительное и $b$ положительное, то $\frac{a}{b}$ будет положительной. Например, $\frac{2}{3} > 0$. **Ответ: Дробь положительна** б) $a > 0$ и $b < 0$: Если $a$ положительное и $b$ отрицательное, то $\frac{a}{b}$ будет отрицательной. Например, $\frac{2}{-3} < 0$. **Ответ: Дробь отрицательна** в) $a < 0$ и $b > 0$: Если $a$ отрицательное и $b$ положительное, то $\frac{a}{b}$ будет отрицательной. Например, $\frac{-2}{3} < 0$. **Ответ: Дробь отрицательна** г) $a < 0$ и $b < 0$: Если $a$ отрицательное и $b$ отрицательное, то $\frac{a}{b}$ будет положительной. Например, $\frac{-2}{-3} = \frac{2}{3} > 0$. **Ответ: Дробь положительна** 18. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби: а) $\frac{3}{x^2+1}$ положительно: Знаменатель $x^2+1$. Так как $x^2 \geq 0$, то $x^2+1 \geq 1$. Знаменатель всегда положительный. Числитель 3 тоже положительный. Поэтому дробь всегда положительна. **Что и требовалось доказать.** б) $\frac{-5}{y^2+4}$ отрицательно: Знаменатель $y^2+4$. Так как $y^2 \geq 0$, то $y^2+4 \geq 4$. Знаменатель всегда положительный. Числитель -5 отрицательный. Поэтому дробь всегда отрицательна. **Что и требовалось доказать.** в) $\frac{(a-1)^2}{a^2+10}$ неотрицательно: Числитель $(a-1)^2$. Квадрат любого числа всегда неотрицателен (то есть $\geq 0$). Знаменатель $a^2+10$. Так как $a^2 \geq 0$, то $a^2+10 \geq 10$. Знаменатель всегда положительный. Дробь, у которой числитель неотрицателен, а знаменатель положителен, будет неотрицательной. **Что и требовалось доказать.** г) $\frac{(b-3)^2}{-b^2-1}$ неположительно: Числитель $(b-3)^2$. Квадрат любого числа всегда неотрицателен (то есть $\geq 0$). Знаменатель $-b^2-1$. Так как $b^2 \geq 0$, то $-b^2 \leq 0$. Значит, $-b^2-1 \leq -1$. Знаменатель всегда отрицательный. Дробь, у которой числитель неотрицателен, а знаменатель отрицателен, будет неположительной (то есть $\leq 0$). **Что и требовалось доказать.** 19. При каком значении $a$ принимает наибольшее значение дробь: а) $\frac{4}{a^2+5}$: Чтобы дробь была наибольшей, её знаменатель должен быть наименьшим (но положительным). Знаменатель $a^2+5$. Так как $a^2 \geq 0$, наименьшее значение $a^2$ равно 0, когда $a=0$. В этом случае знаменатель будет $0^2+5 = 5$. Дробь будет $\frac{4}{5}$. При любых других значениях $a$, $a^2$ будет больше 0, и знаменатель будет больше 5, а дробь станет меньше. **Ответ: $a=0$** б) $\frac{10}{(a-3)^2+1}$: Чтобы дробь была наибольшей, её знаменатель должен быть наименьшим (но положительным). Знаменатель $(a-3)^2+1$. Выражение $(a-3)^2$ всегда неотрицательно, то есть $\geq 0$. Его наименьшее значение равно 0, когда $a-3 = 0 \Rightarrow a=3$. В этом случае знаменатель будет $0^2+1 = 1$. Дробь будет $\frac{10}{1} = 10$. При любых других значениях $a$, $(a-3)^2$ будет больше 0, и знаменатель будет больше 1, а дробь станет меньше. **Ответ: $a=3$**