Укажи допустимые значения переменной в выражении $x^2 - 8x + 9$

**11. Укажите допустимые значения переменной в выражении:** Давай вспомним, что знаменатель дроби не может быть равен нулю, потому что на ноль делить нельзя! Поэтому мы должны найти такие значения переменной, при которых знаменатель не будет равен нулю. а) $x^2 - 8x + 9$ Это выражение — многочлен, у него нет знаменателя, поэтому $x$ может быть любым числом. **Допустимые значения: $x$ — любое число.** б) $\frac{1}{6x-3}$ Знаменатель $6x-3$ не должен быть равен нулю. $6x - 3 \neq 0$ $6x \neq 3$ $x \neq \frac{3}{6}$ $x \neq \frac{1}{2}$ **Допустимые значения: $x \neq \frac{1}{2}$** в) $\frac{3x-6}{7}$ Знаменатель равен 7. Он никогда не равен нулю, поэтому $x$ может быть любым числом. **Допустимые значения: $x$ — любое число.** г) $\frac{x^2-8}{4x(x+1)}$ Знаменатель $4x(x+1)$ не должен быть равен нулю. Это произойдет, если $4x = 0$ или $x+1 = 0$. $4x \neq 0 \implies x \neq 0$ $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$ **Допустимые значения: $x \neq 0$ и $x \neq -1$** д) $\frac{x-5}{x^2+25-3x}$ Знаменатель $x^2+25-3x$ не должен быть равен нулю. Давай посмотрим на это внимательнее. Если бы это было $x^2+25$, то оно всегда было бы больше нуля, но здесь есть ещё $-3x$. Надо переписать в привычном виде: $x^2 - 3x + 25$. Давай попробуем найти корни этого квадратного уравнения, используя дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 9 - 100 = -91$. Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), это значит, что у квадратного уравнения нет действительных корней, а парабола $y = x^2 - 3x + 25$ всегда находится над осью $x$ (потому что коэффициент при $x^2$ равен 1, то есть $a > 0$). Значит, знаменатель никогда не равен нулю. **Допустимые значения: $x$ — любое число.** е) $\frac{x}{x+8} + \frac{x-8}{x+8}$ Здесь у нас два выражения, и у обоих знаменатель $x+8$. Значит, $x+8$ не должен быть равен нулю. $x+8 \neq 0$ $x \neq -8$ **Допустимые значения: $x \neq -8$** **12. Найдите допустимые значения переменной в выражении:** Тут действует то же правило: знаменатель не может быть равен нулю. а) $\frac{5y-8}{11}$ Знаменатель равен 11. Он никогда не равен нулю, поэтому $y$ может быть любым числом. **Допустимые значения: $y$ — любое число.** б) $\frac{y^2+1}{y^2-2y}$ Знаменатель $y^2-2y$ не должен быть равен нулю. Вынесем $y$ за скобки: $y(y-2)$. $y(y-2) \neq 0$ Значит, $y \neq 0$ и $y-2 \neq 0$, то есть $y \neq 2$. **Допустимые значения: $y \neq 0$ и $y \neq 2$** в) $\frac{y}{y-6} + \frac{15}{y+6}$ Здесь два знаменателя: $y-6$ и $y+6$. Оба не должны быть равны нулю. $y-6 \neq 0 \implies y \neq 6$ $y+6 \neq 0 \implies y \neq -6$ **Допустимые значения: $y \neq 6$ и $y \neq -6$** г) $\frac{y-10}{y^2+3}$ Знаменатель $y^2+3$ не должен быть равен нулю. Так как $y^2$ всегда больше или равно 0, то $y^2+3$ всегда будет больше или равно 3. Значит, он никогда не равен нулю. **Допустимые значения: $y$ — любое число.** д) $\frac{32}{y} - \frac{y+1}{y+7}$ Здесь два знаменателя: $y$ и $y+7$. Оба не должны быть равны нулю. $y \neq 0$ $y+7 \neq 0 \implies y \neq -7$ **Допустимые значения: $y \neq 0$ и $y \neq -7$** **13. Найдите область определения функции:** Область определения функции — это все значения переменной, при которых функция имеет смысл. Для дробей это означает, что знаменатель не должен быть равен нулю. а) $y = \frac{1}{x-2}$ Знаменатель $x-2$ не должен быть равен нулю. $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$ **Область определения: $x \neq 2$** б) $y = \frac{2x+3}{x(x+1)}$ Знаменатель $x(x+1)$ не должен быть равен нулю. Это значит, что $x \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. **Область определения: $x \neq 0$ и $x \neq -1$** в) $y = x + \frac{1}{x+5}$ Здесь есть дробь $\frac{1}{x+5}$, поэтому её знаменатель $x+5$ не должен быть равен нулю. $x+5 \neq 0 \implies x \neq -5$ **Область определения: $x \neq -5$** **14. При каком значении переменной значение дроби $\frac{x-3}{5}$ равно:** Чтобы дробь была равна какому-то числу, числитель должен быть таким, чтобы при делении на 5 получилось это число. Числитель здесь $x-3$, а знаменатель 5. а) 1: $\frac{x-3}{5} = 1$ $x-3 = 1 \cdot 5$ $x-3 = 5$ $x = 5 + 3$ $x = 8$ **Ответ: 8** б) 0: $\frac{x-3}{5} = 0$ Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю (здесь знаменатель 5, он не равен нулю). $x-3 = 0$ $x = 3$ **Ответ: 3** в) -1: $\frac{x-3}{5} = -1$ $x-3 = -1 \cdot 5$ $x-3 = -5$ $x = -5 + 3$ $x = -2$ **Ответ: -2** г) 3? $\frac{x-3}{5} = 3$ $x-3 = 3 \cdot 5$ $x-3 = 15$ $x = 15 + 3$ $x = 18$ **Ответ: 18** **15. При каких значениях переменной равно нулю значение дроби:** Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. а) $\frac{y-5}{8}$ Числитель $y-5$ должен быть равен нулю. Знаменатель 8 не равен нулю. $y-5 = 0$ $y = 5$ **Ответ: $y = 5$** б) $\frac{2y+3}{10}$ Числитель $2y+3$ должен быть равен нулю. Знаменатель 10 не равен нулю. $2y+3 = 0$ $2y = -3$ $y = -\frac{3}{2}$ или $y = -1.5$ **Ответ: $y = -1.5$** в) $\frac{x(x-1)}{x+4}$ Числитель $x(x-1)$ должен быть равен нулю, а знаменатель $x+4$ не должен быть равен нулю. Если $x(x-1) = 0$, то $x = 0$ или $x-1 = 0$, то есть $x = 1$. Проверим знаменатель: если $x=0$, то $0+4=4 \neq 0$. Если $x=1$, то $1+4=5 \neq 0$. Значит, оба эти значения подходят. **Ответ: $x = 0$ и $x = 1$** г) $\frac{x(x+3)}{2x+6}$ Числитель $x(x+3)$ должен быть равен нулю. Знаменатель $2x+6$ не должен быть равен нулю. Если $x(x+3) = 0$, то $x = 0$ или $x+3 = 0$, то есть $x = -3$. Проверим знаменатель: Если $x=0$, то $2(0)+6 = 6 \neq 0$. Если $x=-3$, то $2(-3)+6 = -6+6 = 0$. А знаменатель не может быть равен нулю! Значит, $x=-3$ не подходит. **Ответ: $x = 0$** **16. Найдите значения переменной, при которых равно нулю значение дроби:** Это задание такое же, как и предыдущее: числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю. а) $\frac{m+4}{6}$ Числитель $m+4 = 0$, значит $m = -4$. Знаменатель 6 не равен нулю. **Ответ: $m = -4$** б) $\frac{7-5n}{11}$ Числитель $7-5n = 0$. $-5n = -7$ $n = \frac{-7}{-5}$ $n = \frac{7}{5}$ или $n = 1.4$. Знаменатель 11 не равен нулю. **Ответ: $n = 1.4$** в) $\frac{b^2-b}{b+2}$ Числитель $b^2-b = 0$. Вынесем $b$ за скобки: $b(b-1)=0$. Значит, $b=0$ или $b-1=0$, то есть $b=1$. Проверим знаменатель $b+2$: Если $b=0$, то $0+2=2 \neq 0$. Если $b=1$, то $1+2=3 \neq 0$. Оба значения подходят. **Ответ: $b = 0$ и $b = 1$** г) $\frac{y^2-25}{3y-15}$ Числитель $y^2-25 = 0$. Это разность квадратов: $(y-5)(y+5)=0$. Значит, $y-5=0$ (тогда $y=5$) или $y+5=0$ (тогда $y=-5$). Проверим знаменатель $3y-15$: Если $y=5$, то $3(5)-15 = 15-15 = 0$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $y=5$ не подходит! Если $y=-5$, то $3(-5)-15 = -15-15 = -30 \neq 0$. Это значение подходит. **Ответ: $y = -5$** **17. Определите знак дроби $\frac{a}{b}$, если известно, что:** Вспомним правила знаков при делении: - Если $a$ и $b$ одного знака (оба положительные или оба отрицательные), то дробь $\frac{a}{b}$ положительна. - Если $a$ и $b$ разных знаков (одно положительное, другое отрицательное), то дробь $\frac{a}{b}$ отрицательна. а) $a > 0$ и $b > 0$; $a$ — положительное, $b$ — положительное. Значит, дробь положительная. **Ответ: $\frac{a}{b} > 0$** б) $a > 0$ и $b < 0$; $a$ — положительное, $b$ — отрицательное. Значит, дробь отрицательная. **Ответ: $\frac{a}{b} < 0$** в) $a < 0$ и $b > 0$; $a$ — отрицательное, $b$ — положительное. Значит, дробь отрицательная. **Ответ: $\frac{a}{b} < 0$** г) $a < 0$ и $b < 0$. $a$ — отрицательное, $b$ — отрицательное. Значит, дробь положительная. **Ответ: $\frac{a}{b} > 0$** **18. Докажите, что при любом значении переменной значение дроби:** а) $\frac{3}{x^2+1}$ положительно; Числитель 3 — это положительное число. Знаменатель $x^2+1$: $x^2$ всегда больше или равно 0 (любое число в квадрате неотрицательно). Значит, $x^2+1$ всегда будет больше или равно $0+1=1$. То есть, знаменатель всегда положительный. Положительное число (3) разделить на положительное число ($x^2+1$) всегда даёт положительное число. **Доказано: $\frac{3}{x^2+1} > 0$** б) $\frac{-5}{y^2+4}$ отрицательно; Числитель -5 — это отрицательное число. Знаменатель $y^2+4$: $y^2$ всегда больше или равно 0. Значит, $y^2+4$ всегда будет больше или равно $0+4=4$. То есть, знаменатель всегда положительный. Отрицательное число (-5) разделить на положительное число ($y^2+4$) всегда даёт отрицательное число. **Доказано: $\frac{-5}{y^2+4} < 0$** в) $\frac{(a-1)^2}{a^2+10}$ неотрицательно;