Реши уравнение $\cos^2 2x = 1 + \sin^2 2x$

Привет! Давай решим эти интересные уравнения. ### Уравнение 1) Нам дано уравнение: $\cos^2 2x = 1 + \sin^2 2x$. Мы знаем, что есть такое важное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. Из него можно выразить $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$. Применим это к нашему уравнению, где $\alpha = 2x$. 1. Заменим $\cos^2 2x$ на $1 - \sin^2 2x$: $1 - \sin^2 2x = 1 + \sin^2 2x$ 2. Теперь перенесём все с $\sin^2 2x$ в одну сторону, а числа — в другую. Вычтем 1 из обеих частей уравнения и прибавим $\sin^2 2x$ к обеим частям: $- \sin^2 2x - \sin^2 2x = 1 - 1$ 3. Сложим похожие слагаемые: $-2 \sin^2 2x = 0$ 4. Разделим обе части на -2: $\sin^2 2x = 0$ 5. А это значит, что и $\sin 2x = 0$. 6. Когда синус какого-то угла равен 0? Когда этот угол равен $ \pi k $, где $ k $ — любое целое число. Значит: $2x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$ 7. Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2: $x = \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$** ### Уравнение 3) Уравнение выглядит так: $2 \cos^2 x = 1 + 2 \sin^2 x$. Снова воспользуемся тем же тригонометрическим тождеством: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Мы можем подставить $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ в уравнение. 1. Заменим $\sin^2 x$ на $1 - \cos^2 x$: $2 \cos^2 x = 1 + 2(1 - \cos^2 x)$ 2. Раскроем скобки: $2 \cos^2 x = 1 + 2 - 2 \cos^2 x$ 3. Перенесём все с $\cos^2 x$ в левую сторону, а числа — в правую: $2 \cos^2 x + 2 \cos^2 x = 1 + 2$ 4. Сложим похожие слагаемые: $4 \cos^2 x = 3$ 5. Разделим обе части на 4: $\cos^2 x = \frac{3}{4}$ 6. Теперь извлечём квадратный корень из обеих частей. Не забудь, что может быть как положительный, так и отрицательный корень: $\cos x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ $\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ 7. Теперь нужно найти $x$. Мы знаем, что $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ при $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, а $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ при $x = \pm \left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) + 2\pi n = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$. Можно записать общее решение в виде: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$ **Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$** ### Уравнение 5) Вижу, что часть уравнения 5) не попала на картинку. **Недостаточно данных для точного решения.** Что нужно добавить: правая часть уравнения 5) полностью (после знака равенства).