Найди значение выражения $7^5 \cdot (7^2)^4 : 7^{11}$

Привет! Давай разберёмся с этими выражениями. Будем использовать правила работы со степенями. а) Чтобы найти значение этого выражения, нужно помнить, что при возведении степени в степень показатели перемножаются, а при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются. $$7^5 \cdot (7^2)^4 : 7^{11} = 7^5 \cdot 7^{2 \cdot 4} : 7^{11} = 7^5 \cdot 7^8 : 7^{11} = 7^{5+8} : 7^{11} = 7^{13} : 7^{11} = 7^{13-11} = 7^2 = 49$$ **Ответ: 49** б) Здесь у нас только деление степеней с одинаковым основанием. Просто вычитаем показатели. $$11^{-4} : 11^{13} : 11^{17} = 11^{-4-13-17} = 11^{-34}$$ **Ответ: $11^{-34}$** в) Опять деление степеней. Не забывай, что минус на минус даёт плюс! $$5^9 : 5^{-12} : 5^{20} = 5^{9 - (-12) - 20} = 5^{9 + 12 - 20} = 5^{21 - 20} = 5^1 = 5$$ **Ответ: 5** г) Здесь нам нужно привести все к одному основанию. Заметим, что $10 = 2 \cdot 5$ и $25 = 5^2$. Также не забудь про правило возведения степени в степень. $$10 : (5^{-2})^{13} : 25^{14} = 2 \cdot 5 : 5^{-2 \cdot 13} : (5^2)^{14} = 2 \cdot 5 : 5^{-26} : 5^{2 \cdot 14} = 2 \cdot 5 : 5^{-26} : 5^{28}$$ Теперь собираем все степени пятёрки вместе. При умножении степени складываем, при делении — вычитаем. $$2 \cdot 5^{1 - (-26) - 28} = 2 \cdot 5^{1 + 26 - 28} = 2 \cdot 5^{27 - 28} = 2 \cdot 5^{-1}$$ Напомню, что $5^{-1} = \frac{1}{5}$. $$2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5} = 0,4$$ **Ответ: 0,4** д) В этом выражении мы можем разложить числа на множители и использовать свойства степеней. Сначала разберём числитель: $15^5 = (3 \cdot 5)^5 = 3^5 \cdot 5^5$. Теперь посмотрим на первое отношение: $$\frac{15^5}{3^3 \cdot 5^4} = \frac{3^5 \cdot 5^5}{3^3 \cdot 5^4} = 3^{5-3} \cdot 5^{5-4} = 3^2 \cdot 5^1 = 9 \cdot 5 = 45$$ Теперь разберём второе отношение: $12^5 = (3 \cdot 4)^5 = 3^5 \cdot 4^5$. А $4^6$ можно записать как $4^5 \cdot 4^1$. $$\frac{12^5}{3^6 \cdot 4^6} = \frac{3^5 \cdot 4^5}{3^6 \cdot 4^6} = 3^{5-6} \cdot 4^{5-6} = 3^{-1} \cdot 4^{-1}$$ Или можно было заметить, что $4^6 = (2^2)^6 = 2^{12}$, а $12^5 = (2^2 \cdot 3)^5 = 2^{10} \cdot 3^5$. Тогда: $$\frac{12^5}{3^6 \cdot 4^6} = \frac{2^{10} \cdot 3^5}{3^6 \cdot 2^{12}} = 2^{10-12} \cdot 3^{5-6} = 2^{-2} \cdot 3^{-1} = \frac{1}{2^2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$$ Теперь перемножим результаты первого и второго отношения: $$45 : \frac{1}{12} = 45 \cdot 12$$ $$45 \cdot 12 = 45 \cdot (10 + 2) = 45 \cdot 10 + 45 \cdot 2 = 450 + 90 = 540$$ **Ответ: 540** е) И снова разложение на множители и свойства степеней. Первое отношение: $10^{10} = (2 \cdot 5)^{10} = 2^{10} \cdot 5^{10}$. $$\frac{10^{10}}{2^8 \cdot 5^9} = \frac{2^{10} \cdot 5^{10}}{2^8 \cdot 5^9} = 2^{10-8} \cdot 5^{10-9} = 2^2 \cdot 5^1 = 4 \cdot 5 = 20$$ Второе отношение: $17^6 \cdot 8^3$. Здесь $8^3 = (2^3)^3 = 2^9$. А $34^7 = (2 \cdot 17)^7 = 2^7 \cdot 17^7$. $$\frac{17^6 \cdot 8^3}{34^7} = \frac{17^6 \cdot 2^9}{2^7 \cdot 17^7} = 2^{9-7} \cdot 17^{6-7} = 2^2 \cdot 17^{-1} = 4 \cdot \frac{1}{17} = \frac{4}{17}$$ Теперь перемножаем результаты: $$20 \cdot \frac{4}{17} = \frac{80}{17}$$ Можно выделить целую часть: $$\begin{array}{cc|l} 8 & 0 & 17 \ \ \hline 6 & 8 & 4 \\ \hline 1 & 2 \end{array}$$ Значит, это $4 \frac{12}{17}$. **Ответ: $4 \frac{12}{17}$**