Сравните числа 5,48(5) и 5,4(85)

Привет! Давай разберемся с этими задачами. ### Задание 29. Сравните числа: Когда мы сравниваем десятичные дроби с периодом, лучше всего развернуть их немного, чтобы увидеть, какие цифры идут дальше. а) $5,48(5)$ и $5,4(85)$ * $5,48(5) = 5,48555...$ (цифра 5 повторяется) * $5,4(85) = 5,48585...$ (цифры 85 повторяются) Смотрим на цифры после запятой: $5,48555...$ и $5,48585...$ Первые три цифры одинаковые: $5,485$. Дальше у первого числа идет $5$, а у второго — $8$. Так как $5 < 8$, то $5,48(5) < 5,4(85)$. **Ответ: $5,48(5) < 5,4(85)$** б) $-3,5(61)$ и $-3,56(1)$ Здесь числа отрицательные, поэтому то число, которое по модулю (без минуса) больше, на самом деле будет меньше. Давай развернем их: * $-3,5(61) = -3,56161...$ (цифры 61 повторяются) * $-3,56(1) = -3,56111...$ (цифра 1 повторяется) Смотрим на цифры после запятой: $-3,56161...$ и $-3,56111...$ Первые четыре цифры одинаковые: $-3,561$. Дальше у первого числа идет $6$, а у второго — $1$. Так как $6 > 1$, то $3,56161... > 3,56111...$. Но поскольку числа отрицательные, то знак меняется на противоположный. Поэтому $-3,56161... < -3,56111...$ **Ответ: $-3,5(61) < -3,56(1)$** ### Задание 30. Найдите два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число: Натуральные числа — это $1, 2, 3, 4, ...$. Чтобы найти, между какими натуральными числами находится корень, нужно подумать, между какими квадратами находится число под корнем. а) $\sqrt{3}$ * $1^2 = 1$ * $2^2 = 4$ Так как $1 < 3 < 4$, то $\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$. Значит, $1 < \sqrt{3} < 2$. Число $\sqrt{3}$ находится между $1$ и $2$. **Ответ: $1$ и $2$** б) $\sqrt{5}$ * $2^2 = 4$ * $3^2 = 9$ Так как $4 < 5 < 9$, то $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$. Значит, $2 < \sqrt{5} < 3$. Число $\sqrt{5}$ находится между $2$ и $3$. **Ответ: $2$ и $3$** в) $\sqrt{8}$ * $2^2 = 4$ * $3^2 = 9$ Так как $4 < 8 < 9$, то $\sqrt{4} < \sqrt{8} < \sqrt{9}$. Значит, $2 < \sqrt{8} < 3$. Число $\sqrt{8}$ находится между $2$ и $3$. **Ответ: $2$ и $3$** г) $\sqrt{10}$ * $3^2 = 9$ * $4^2 = 16$ Так как $9 < 10 < 16$, то $\sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16}$. Значит, $3 < \sqrt{10} < 4$. Число $\sqrt{10}$ находится между $3$ и $4$. **Ответ: $3$ и $4$** д) $\sqrt{20}$ * $4^2 = 16$ * $5^2 = 25$ Так как $16 < 20 < 25$, то $\sqrt{16} < \sqrt{20} < \sqrt{25}$. Значит, $4 < \sqrt{20} < 5$. Число $\sqrt{20}$ находится между $4$ и $5$. **Ответ: $4$ и $5$** е) $\sqrt{50}$ * $7^2 = 49$ * $8^2 = 64$ Так как $49 < 50 < 64$, то $\sqrt{49} < \sqrt{50} < \sqrt{64}$. Значит, $7 < \sqrt{50} < 8$. Число $\sqrt{50}$ находится между $7$ и $8$. **Ответ: $7$ и $8$** ж) $\sqrt{75}$ * $8^2 = 64$ * $9^2 = 81$ Так как $64 < 75 < 81$, то $\sqrt{64} < \sqrt{75} < \sqrt{81}$. Значит, $8 < \sqrt{75} < 9$. Число $\sqrt{75}$ находится между $8$ и $9$. **Ответ: $8$ и $9$** ### Задание 31. Сравните числа $c$ и $\sqrt{c}$ при условии, что: а) $c > 1$ Давай возьмем какое-нибудь число $c > 1$, например $c=4$. Тогда $\sqrt{c} = \sqrt{4} = 2$. Мы видим, что $4 > 2$, то есть $c > \sqrt{c}$. Если $c > 1$, то $\sqrt{c}$ будет меньше $c$. Можно представить это так: если мы умножаем число больше 1 на само себя (как в $c = \sqrt{c} \cdot \sqrt{c}$), то результат становится больше, чем исходное число. Значит, чтобы получить $c$, нам нужно умножить $\sqrt{c}$ на себя, и $c$ будет больше. **Ответ: $c > \sqrt{c}$** б) $0 < c < 1$ Давай возьмем какое-нибудь число $c$ между $0$ и $1$, например $c=0,25$. Тогда $\sqrt{c} = \sqrt{0,25} = 0,5$. Мы видим, что $0,25 < 0,5$, то есть $c < \sqrt{c}$. Если $0 < c < 1$, то $\sqrt{c}$ будет больше $c$. Это потому, что извлечение корня из числа меньше 1 как бы "растягивает" его до большего значения, которое всё равно будет меньше 1. Например, $0,5 \cdot 0,5 = 0,25$. **Ответ: $c < \sqrt{c}$** **Существует ли значение $c$, при котором верно равенство $\sqrt{c} = c$?** Чтобы это равенство было верным, нам нужно найти такое $c$, чтобы $c = \sqrt{c}$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{c})^2 = c^2$ Получим $c = c^2$. Теперь перенесем всё в одну сторону: $c^2 - c = 0$ Вынесем $c$ за скобки: $c(c - 1) = 0$ Это уравнение будет верным, если: * $c = 0$ * или $c - 1 = 0 \implies c = 1$ Так что, да, такие значения существуют. **Ответ: Да, такие значения существуют при $c=0$ и $c=1$.** Надеюсь, всё понятно! Если есть еще вопросы, спрашивай. 😉