Реши задачу: Поезд прошёл расстояние между двумя городами за 8 часов. Половину пути он шёл со скоростью 40 км/ч, а вторую половину - со скоростью 60 км/ч. Сколько часов шёл поезд с каждой скоростью отдельно?

Привет! Давай разберемся с этой задачкой. Представим, что всё расстояние между городами — это большая дорога. Поезд прошёл половину этой дороги с одной скоростью, а вторую половину — с другой. **Допущение**: Мы будем считать, что общая длительность поездки 8 часов включает время движения с обеими скоростями. Пусть $S$ — это всё расстояние между городами, а $S_1$ и $S_2$ — это половинки пути. Так как половина пути, то $S_1 = S_2 = \frac{S}{2}$. Известно, что: * Время в пути с первой скоростью: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{40}$ * Время в пути со второй скоростью: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/2}{60}$ Общее время в пути $t = t_1 + t_2$, и оно равно 8 часам. Значит, мы можем записать уравнение: $$ \frac{S/2}{40} + \frac{S/2}{60} = 8 $$ Вынесем $\frac{S}{2}$ за скобки: $$ \frac{S}{2} \left( \frac{1}{40} + \frac{1}{60} \right) = 8 $$ Найдём общий знаменатель для дробей в скобках. Это 120: $$ \frac{S}{2} \left( \frac{3}{120} + \frac{2}{120} \right) = 8 $$ $$ \frac{S}{2} \left( \frac{3+2}{120} \right) = 8 $$ $$ \frac{S}{2} \left( \frac{5}{120} \right) = 8 $$ Сократим дробь $\frac{5}{120}$ на 5: $$ \frac{S}{2} \left( \frac{1}{24} \right) = 8 $$ $$ \frac{S}{48} = 8 $$ Теперь найдём общее расстояние $S$: $$ S = 8 \times 48 $$ $$ S = 384 \text{ км} $$ Теперь, когда мы знаем общее расстояние, можно найти половину пути: $$ S_1 = S_2 = \frac{384}{2} = 192 \text{ км} $$ Осталось найти время, которое поезд ехал с каждой скоростью: 1. **Время, когда поезд шёл со скоростью 40 км/ч** ($t_1$): $$ t_1 = \frac{S_1}{40} = \frac{192}{40} = 4.8 \text{ часа} $$ 2. **Время, когда поезд шёл со скоростью 60 км/ч** ($t_2$): $$ t_2 = \frac{S_2}{60} = \frac{192}{60} = 3.2 \text{ часа} $$ Проверим, складываются ли эти времена в общее время: $$ 4.8 + 3.2 = 8 \text{ часов} $$ Всё верно! **Ответ:** Поезд шёл со скоростью 40 км/ч 4.8 часа, а со скоростью 60 км/ч 3.2 часа.