Представь выражение в виде одночлена стандартного вида: $(4ac^2)^3 \cdot (0,5a^3c)^2$

Привет! Давай разберёмся с этим заданием. Нам нужно представить одночлены в стандартном виде. Это значит, что сначала мы возводим все числа и буквы в степени, а потом перемножаем их и приводим к самому простому виду. ### Задание 7. Представьте в виде одночлена стандартного вида: **1) а) $(4ac^2)^3 \cdot (0,5a^3c)^2$** Сначала раскроем скобки, возведя каждый множитель в степень: $(4ac^2)^3 = 4^3 \cdot a^3 \cdot (c^2)^3 = 64a^3c^{2 \cdot 3} = 64a^3c^6$ $(0,5a^3c)^2 = (0,5)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot c^2 = 0,25a^{3 \cdot 2}c^2 = 0,25a^6c^2$ Теперь перемножим полученные выражения: $64a^3c^6 \cdot 0,25a^6c^2$ Сначала умножим числа, потом буквы с одинаковым основанием, складывая их степени: $64 \cdot 0,25 = 16$ $a^3 \cdot a^6 = a^{3+6} = a^9$ $c^6 \cdot c^2 = c^{6+2} = c^8$ Получаем: $$16a^9c^8$$ **1) б) $(\frac{2}{3}x^2y^3)^3 \cdot (-9x^4)^2$** Сначала раскроем скобки: $(\frac{2}{3}x^2y^3)^3 = (\frac{2}{3})^3 \cdot (x^2)^3 \cdot (y^3)^3 = \frac{8}{27}x^{2 \cdot 3}y^{3 \cdot 3} = \frac{8}{27}x^6y^9$ $(-9x^4)^2 = (-9)^2 \cdot (x^4)^2 = 81x^{4 \cdot 2} = 81x^8$ Теперь перемножим полученные выражения: $\frac{8}{27}x^6y^9 \cdot 81x^8$ Сначала умножим числа: $\frac{8}{27} \cdot 81 = \frac{8 \cdot 81}{27} = 8 \cdot 3 = 24$ Затем перемножим буквы: $x^6 \cdot x^8 = x^{6+8} = x^{14}$ $y^9$ Получаем: $$24x^{14}y^9$$ **2) а) $-(-x^2y^4)^4 \cdot (6x^4y)^2$** Сначала раскроем скобки. Обрати внимание на минусы! $-(-x^2y^4)^4$: Сначала $(-x^2y^4)^4 = (x^2y^4)^4 = x^{2 \cdot 4}y^{4 \cdot 4} = x^8y^{16}$. Так как степень четная, минус внутри скобок исчезает. Но у нас ещё есть минус перед скобкой, поэтому будет $-x^8y^{16}$. $(6x^4y)^2 = 6^2 \cdot (x^4)^2 \cdot y^2 = 36x^{4 \cdot 2}y^2 = 36x^8y^2$ Теперь перемножим полученные выражения: $-x^8y^{16} \cdot 36x^8y^2$ Умножим числа: $-1 \cdot 36 = -36$ Перемножим буквы: $x^8 \cdot x^8 = x^{8+8} = x^{16}$ $y^{16} \cdot y^2 = y^{16+2} = y^{18}$ Получаем: $$-36x^{16}y^{18}$$ **2) б) $(-10a^3b^2)^5 \cdot (-0,2ab^2)^5$** Оба выражения возводятся в пятую степень, поэтому мы можем сначала перемножить то, что в скобках, а потом возвести в степень. Это удобно, когда степени одинаковые. Или можно возвести каждое в степень отдельно. Давай возведём каждое в степень отдельно, чтобы было понятно: $(-10a^3b^2)^5 = (-10)^5 \cdot (a^3)^5 \cdot (b^2)^5 = -100000a^{3 \cdot 5}b^{2 \cdot 5} = -100000a^{15}b^{10}$ $(-0,2ab^2)^5 = (-0,2)^5 \cdot a^5 \cdot (b^2)^5 = -0,00032a^5b^{2 \cdot 5} = -0,00032a^5b^{10}$ Теперь перемножим полученные выражения: $-100000a^{15}b^{10} \cdot (-0,00032a^5b^{10})$ Умножим числа. Обрати внимание: минус на минус даёт плюс! $-100000 \cdot (-0,00032) = 32$ Перемножим буквы: $a^{15} \cdot a^5 = a^{15+5} = a^{20}$ $b^{10} \cdot b^{10} = b^{10+10} = b^{20}$ Получаем: $$32a^{20}b^{20}$$