Разбери задания по геометрии из разных уровней.

Привет! Давай разберёмся с этими геометрическими задачками. ### II уровень **3. \(\angle 3 + \angle 1 = 80^\circ\)** На картинке видно, что углы \(\angle 1\) и \(\angle 3\) — это **вертикальные углы**. Вертикальные углы всегда равны. Так как \(\angle 1 = \angle 3\) и их сумма \(80^\circ\), то каждый из них равен: $$ \angle 1 = \angle 3 = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ $$ Углы \(\angle 1\) и \(\angle 2\) — это **смежные углы**. Смежные углы вместе образуют прямую линию, а значит, их сумма равна \(180^\circ\). Чтобы найти \(\angle 2\), вычтем \(\angle 1\) из \(180^\circ\): $$ \angle 2 = 180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ $$ **Ответ: \(\angle 1 = 40^\circ, \angle 2 = 140^\circ\)** **4. \(\alpha - \beta = 80^\circ\)** На картинке углы \(\alpha\) и \(\beta\) — это **смежные углы**. Их сумма равна \(180^\circ\). Мы знаем, что: 1. \(\alpha - \beta = 80^\circ\) 2. \(\alpha + \beta = 180^\circ\) Давай сложим эти два уравнения, чтобы найти \(\alpha\): $$ (\alpha - \beta) + (\alpha + \beta) = 80^\circ + 180^\circ $$ $$ 2\alpha = 260^\circ $$ $$ \alpha = \frac{260^\circ}{2} = 130^\circ $$ Теперь, чтобы найти \(\beta\), подставим \(\alpha\) в первое уравнение: $$ 130^\circ - \beta = 80^\circ $$ $$ \beta = 130^\circ - 80^\circ = 50^\circ $$ Проверим: \(130^\circ + 50^\circ = 180^\circ\) – всё верно! **Ответ: \(\alpha = 130^\circ, \beta = 50^\circ\)** ### III уровень **5. \(\alpha : \gamma = 3 : 7\)** На картинке углы \(\alpha\) и \(\gamma\) — это **смежные углы**. Их сумма равна \(180^\circ\). Соотношение \(\alpha : \gamma = 3 : 7\) означает, что \(\alpha\) составляет 3 части, а \(\gamma\) — 7 частей из общей суммы. Всего \(3 + 7 = 10\) частей. Каждая часть равна: $$ \frac{180^\circ}{10} = 18^\circ $$ Теперь найдём сами углы: $$ \alpha = 3 \times 18^\circ = 54^\circ $$ $$ \gamma = 7 \times 18^\circ = 126^\circ $$ Проверим: \(54^\circ + 126^\circ = 180^\circ\) – всё правильно! **Ответ: \(\alpha = 54^\circ, \gamma = 126^\circ\)** **6. \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 310^\circ\)** На картинке углы \(\angle 1\) и \(\angle 3\) — **вертикальные углы**, значит, \(\angle 1 = \angle 3\). Углы \(\angle 1\) и \(\angle 2\) — **смежные углы**, значит, \(\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ\). Мы знаем, что сумма всех четырёх углов, образующихся при пересечении двух прямых (\(\angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4\)), равна \(360^\circ\). Также \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 360^\circ\). Нам дано \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 310^\circ\). Значит, чтобы найти \(\angle 4\), нужно из \(360^\circ\) вычесть сумму этих трёх углов: $$ \angle 4 = 360^\circ - (\angle 1 + \angle 2 + \angle 3) = 360^\circ - 310^\circ = 50^\circ $$ Углы \(\angle 4\) и \(\angle 2\) — **вертикальные углы**, поэтому они равны: $$ \angle 2 = \angle 4 = 50^\circ $$ Теперь, зная \(\angle 2\), мы можем найти \(\angle 1\) (они смежные): $$ \angle 1 = 180^\circ - \angle 2 = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ $$ А так как \(\angle 1\) и \(\angle 3\) — вертикальные, то: $$ \angle 3 = \angle 1 = 130^\circ $$ **Ответ: \(\angle 1 = 130^\circ, \angle 2 = 50^\circ\)** ### IV уровень **7. \(0,4\alpha + 0,7\beta = 111^\circ\)** На картинке углы \(\alpha\) и \(\beta\) — **смежные углы**. Их сумма равна \(180^\circ\). У нас есть система уравнений: 1. \(0,4\alpha + 0,7\beta = 111^\circ\) 2. \(\alpha + \beta = 180^\circ\) Из второго уравнения выразим \(\beta\): $$ \beta = 180^\circ - \alpha $$ Подставим это выражение для \(\beta\) в первое уравнение: $$ 0,4\alpha + 0,7(180^\circ - \alpha) = 111^\circ $$ $$ 0,4\alpha + 0,7 \times 180^\circ - 0,7\alpha = 111^\circ $$ $$ 0,4\alpha + 126^\circ - 0,7\alpha = 111^\circ $$ $$ -0,3\alpha = 111^\circ - 126^\circ $$ $$ -0,3\alpha = -15^\circ $$ $$ \alpha = \frac{-15^\circ}{-0,3} $$ $$ \alpha = 50^\circ $$ Теперь найдём \(\beta\): $$ \beta = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ $$ Проверим: \(0,4 \times 50^\circ + 0,7 \times 130^\circ = 20^\circ + 91^\circ = 111^\circ\) – верно! **Ответ: \(\alpha = 50^\circ, \beta = 130^\circ\)** **8. \(\alpha = 20^\circ, \beta = 40^\circ\)** На картинке угол \(\angle 1\) и угол \(\alpha\) — **вертикальные углы**. Значит, они равны: $$ \angle 1 = \alpha = 20^\circ $$ Угол \(\angle 2\) и угол \(\beta\) — **вертикальные углы**. Значит, они равны: $$ \angle 2 = \beta = 40^\circ $$ Тут всё просто, главное помнить про вертикальные углы! **Ответ: \(\angle 1 = 20^\circ, \angle 2 = 40^\circ\)**