Реши рациональные неравенства Б) $t(t + 3) > 0$, Г) $t(t + 8)(t - 1,2) \le 0$, Б) $(x - 2)(x + 3)(x + 1) < 0$, Г) $(x + 5)(4x + 1)(x - 3) > 0$, Б) $(3x - 2)(x - 4)(3 - 2x) < 0$, Г) $(x + 7)(4x + 3)(5 - 2x) \ge 0$, Б) $x^2 - 3x \ge 0$, Г) $5x + x^2 < 0$, Б) $x^2 - 25 \ge 0$, Г) $x(x^2 - 64) < 0$, Б) $b^2 < 16$, Г) $\frac{1}{4}c^2 \ge 1$, Б) $(x + 5)(2x^2 - x) \ge 0$, Г) $(4x - 1)(x^2 - 4) < 0$.

Привет! Давай разберёмся с этими неравенствами. Это задания на тему "Рациональные неравенства", здесь нужно найти, при каких значениях переменной неравенство будет верным. Вот решения: 1. Б) $t(t + 3) > 0$ Для того чтобы решить это неравенство, мы должны найти корни выражения $t(t + 3) = 0$. Это $t = 0$ и $t = -3$. Затем мы отмечаем эти точки на числовой прямой и проверяем знаки выражения в промежутках. ----(-3)----(0)----> t Если $t < -3$, например $t = -4$, то $(-4)(-4+3) = (-4)(-1) = 4 > 0$. Значит, на этом промежутке выражение положительно. Если $-3 < t < 0$, например $t = -1$, то $(-1)(-1+3) = (-1)(2) = -2 < 0$. Значит, на этом промежутке выражение отрицательно. Если $t > 0$, например $t = 1$, то $(1)(1+3) = (1)(4) = 4 > 0$. Значит, на этом промежутке выражение положительно. Нам нужно, чтобы $t(t+3) > 0$, то есть положительное значение. **Ответ: $t \in (-\infty; -3) \cup (0; +\infty)$** 2. Г) $t(t + 8)(t - 1,2) \le 0$ Корни выражения $t(t + 8)(t - 1,2) = 0$ это $t = 0$, $t = -8$ и $t = 1,2$. Отмечаем эти точки на числовой прямой. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), эти точки входят в решение. ----(-8)----(0)----(1,2)----> t Если $t < -8$, например $t = -9$, то $(-9)(-9+8)(-9-1,2) = (-9)(-1)(-10,2) = -91,8 \le 0$. Отрицательно. Если $-8 < t < 0$, например $t = -1$, то $(-1)(-1+8)(-1-1,2) = (-1)(7)(-2,2) = 15,4 > 0$. Положительно. Если $0 < t < 1,2$, например $t = 1$, то $(1)(1+8)(1-1,2) = (1)(9)(-0,2) = -1,8 \le 0$. Отрицательно. Если $t > 1,2$, например $t = 2$, то $(2)(2+8)(2-1,2) = (2)(10)(0,8) = 16 > 0$. Положительно. Нам нужно, чтобы $t(t + 8)(t - 1,2) \le 0$, то есть отрицательное или равное нулю значение. **Ответ: $t \in (-\infty; -8] \cup [0; 1,2]$** 3. Б) $(x - 2)(x + 3)(x + 1) < 0$ Корни этого выражения: $x = 2$, $x = -3$, $x = -1$. Отмечаем их на числовой прямой. ----(-3)----(-1)----(2)----> x Если $x < -3$, например $x = -4$, то $(-4-2)(-4+3)(-4+1) = (-6)(-1)(-3) = -18 < 0$. Отрицательно. Если $-3 < x < -1$, например $x = -2$, то $(-2-2)(-2+3)(-2+1) = (-4)(1)(-1) = 4 > 0$. Положительно. Если $-1 < x < 2$, например $x = 0$, то $(0-2)(0+3)(0+1) = (-2)(3)(1) = -6 < 0$. Отрицательно. Если $x > 2$, например $x = 3$, то $(3-2)(3+3)(3+1) = (1)(6)(4) = 24 > 0$. Положительно. Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля. **Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (-1; 2)$** 4. Г) $(x + 5)(4x + 1)(x - 3) > 0$ Корни выражения: $x = -5$, $x = -1/4$, $x = 3$. Отмечаем их на числовой прямой. ----(-5)----(-1/4)----(3)----> x Если $x < -5$, например $x = -6$, то $(-6+5)(4(-6)+1)(-6-3) = (-1)(-23)(-9) = -207 < 0$. Отрицательно. Если $-5 < x < -1/4$, например $x = -1$, то $(-1+5)(4(-1)+1)(-1-3) = (4)(-3)(-4) = 48 > 0$. Положительно. Если $-1/4 < x < 3$, например $x = 0$, то $(0+5)(4(0)+1)(0-3) = (5)(1)(-3) = -15 < 0$. Отрицательно. Если $x > 3$, например $x = 4$, то $(4+5)(4(4)+1)(4-3) = (9)(17)(1) = 153 > 0$. Положительно. Нам нужно, чтобы выражение было больше нуля. **Ответ: $x \in (-5; -1/4) \cup (3; +\infty)$** 5. Б) $(3x - 2)(x - 4)(3 - 2x) < 0$ Корни выражения: $3x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2/3$; $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$; $3 - 2x = 0 \Rightarrow x = 3/2$. Отмечаем их на числовой прямой. ----(2/3)----(3/2)----(4)----> x Важно! Перед $x$ в скобке $(3-2x)$ стоит минус. При составлении произведения знаков это меняет знак общего выражения. Удобнее переписать $(3-2x)$ как $- (2x-3)$, чтобы перед $x$ всегда был плюс. Тогда неравенство станет $-(3x-2)(x-4)(2x-3) < 0$, или $(3x-2)(x-4)(2x-3) > 0$. Корни будут те же, но знаки в промежутках поменяются на противоположные. Но если мы не будем менять, то просто будем внимательно следить за знаками. Если $x < 2/3$, например $x = 0$, то $(3(0)-2)(0-4)(3-2(0)) = (-2)(-4)(3) = 24 > 0$. Положительно. Если $2/3 < x < 3/2$, например $x = 1$, то $(3(1)-2)(1-4)(3-2(1)) = (1)(-3)(1) = -3 < 0$. Отрицательно. Если $3/2 < x < 4$, например $x = 2$, то $(3(2)-2)(2-4)(3-2(2)) = (4)(-2)(-1) = 8 > 0$. Положительно. Если $x > 4$, например $x = 5$, то $(3(5)-2)(5-4)(3-2(5)) = (13)(1)(-7) = -91 < 0$. Отрицательно. Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля. **Ответ: $x \in (2/3; 3/2) \cup (4; +\infty)$** 6. Г) $(x + 7)(4x + 3)(5 - 2x) \ge 0$ Корни выражения: $x = -7$, $x = -3/4$, $x = 5/2$. Отмечаем их на числовой прямой. Эти точки входят в решение. ----(-7)----(-3/4)----(5/2)----> x Опять же, в скобке $(5-2x)$ перед $x$ стоит минус. Мы можем представить это как $-(2x-5)$. Тогда неравенство станет $-(x+7)(4x+3)(2x-5) \ge 0$, или $(x+7)(4x+3)(2x-5) \le 0$. Если $x < -7$, например $x = -8$, то $(-8+7)(4(-8)+3)(5-2(-8)) = (-1)(-29)(21) = 609 > 0$. Положительно. Если $-7 < x < -3/4$, например $x = -1$, то $(-1+7)(4(-1)+3)(5-2(-1)) = (6)(-1)(7) = -42 \le 0$. Отрицательно. Если $-3/4 < x < 5/2$, например $x = 0$, то $(0+7)(4(0)+3)(5-2(0)) = (7)(3)(5) = 105 > 0$. Положительно. Если $x > 5/2$, например $x = 3$, то $(3+7)(4(3)+3)(5-2(3)) = (10)(15)(-1) = -150 \le 0$. Отрицательно. Нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю. **Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup [-3/4; 5/2]$** 7. Б) $x^2 - 3x \ge 0$ Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 3) \ge 0$. Корни: $x = 0$ и $x = 3$. Отмечаем их на числовой прямой. Эти точки входят в решение. ----(0)----(3)----> x Если $x < 0$, например $x = -1$, то $(-1)(-1-3) = (-1)(-4) = 4 \ge 0$. Положительно. Если $0 < x < 3$, например $x = 1$, то $(1)(1-3) = (1)(-2) = -2 < 0$. Отрицательно. Если $x > 3$, например $x = 4$, то $(4)(4-3) = (4)(1) = 4 \ge 0$. Положительно. Нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю. **Ответ: $x \in (-\infty; 0] \cup [3; +\infty)$** 8. Г) $5x + x^2 < 0$ Вынесем $x$ за скобки: $x(5 + x) < 0$. Корни: $x = 0$ и $x = -5$. Отмечаем их на числовой прямой. ----(-5)----(0)----> x Если $x < -5$, например $x = -6$, то $(-6)(5-6) = (-6)(-1) = 6 > 0$. Положительно. Если $-5 < x < 0$, например $x = -1$, то $(-1)(5-1) = (-1)(4) = -4 < 0$. Отрицательно. Если $x > 0$, например $x = 1$, то $(1)(5+1) = (1)(6) = 6 > 0$. Положительно. Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля. **Ответ: $x \in (-5; 0)$** 9. Б) $x^2 - 25 \ge 0$ Это разность квадратов: $(x - 5)(x + 5) \ge 0$. Корни: $x = 5$ и $x = -5$. Отмечаем их на числовой прямой. Эти точки входят в решение. ----(-5)----(5)----> x Если $x < -5$, например $x = -6$, то $(-6-5)(-6+5) = (-11)(-1) = 11 \ge 0$. Положительно. Если $-5 < x < 5$, например $x = 0$, то $(0-5)(0+5) = (-5)(5) = -25 < 0$. Отрицательно. Если $x > 5$, например $x = 6$, то $(6-5)(6+5) = (1)(11) = 11 \ge 0$. Положительно. Нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю. **Ответ: $x \in (-\infty; -5] \cup [5; +\infty)$** 10. Г) $x(x^2 - 64) < 0$ Это $x(x - 8)(x + 8) < 0$. Корни: $x = 0$, $x = 8$, $x = -8$. Отмечаем их на числовой прямой. ----(-8)----(0)----(8)----> x Если $x < -8$, например $x = -9$, то $(-9)((-9)^2 - 64) = (-9)(81 - 64) = (-9)(17) = -153 < 0$. Отрицательно. Если $-8 < x < 0$, например $x = -1$, то $(-1)((-1)^2 - 64) = (-1)(1 - 64) = (-1)(-63) = 63 > 0$. Положительно. Если $0 < x < 8$, например $x = 1$, то $(1)(1^2 - 64) = (1)(1 - 64) = (1)(-63) = -63 < 0$. Отрицательно. Если $x > 8$, например $x = 9$, то $(9)(9^2 - 64) = (9)(81 - 64) = (9)(17) = 153 > 0$. Положительно. Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля. **Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (0; 8)$** 11. Б) $b^2 < 16$ Можно записать как $b^2 - 16 < 0$. Это разность квадратов: $(b - 4)(b + 4) < 0$. Корни: $b = 4$ и $b = -4$. Отмечаем их на числовой прямой. ----(-4)----(4)----> b Если $b < -4$, например $b = -5$, то $(-5-4)(-5+4) = (-9)(-1) = 9 > 0$. Положительно. Если $-4 < b < 4$, например $b = 0$, то $(0-4)(0+4) = (-4)(4) = -16 < 0$. Отрицательно. Если $b > 4$, например $b = 5$, то $(5-4)(5+4) = (1)(9) = 9 > 0$. Положительно. Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля. **Ответ: $b \in (-4; 4)$** 12. Г) $\frac{1}{4}c^2 \ge 1$ Сначала умножим всё на 4, чтобы избавиться от дроби: $c^2 \ge 4$. Перенесём 4 в левую часть: $c^2 - 4 \ge 0$. Это разность квадратов: $(c - 2)(c + 2) \ge 0$. Корни: $c = 2$ и $c = -2$. Отмечаем их на числовой прямой. Эти точки входят в решение. ----(-2)----(2)----> c Если $c < -2$, например $c = -3$, то $(-3-2)(-3+2) = (-5)(-1) = 5 \ge 0$. Положительно. Если $-2 < c < 2$, например $c = 0$, то $(0-2)(0+2) = (-2)(2) = -4 < 0$. Отрицательно. Если $c > 2$, например $c = 3$, то $(3-2)(3+2) = (1)(5) = 5 \ge 0$. Положительно. Нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю. **Ответ: $c \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$** 13. Б) $(x + 5)(2x^2 - x) \ge 0$ Вынесем $x$ из второй скобки: $(x + 5)x(2x - 1) \ge 0$. Корни: $x = -5$, $x = 0$, $x = 1/2$. Отмечаем их на числовой прямой. Эти точки входят в решение. ----(-5)----(0)----(1/2)----> x Если $x < -5$, например $x = -6$, то $(-6+5)(-6)(2(-6)-1) = (-1)(-6)(-13) = -78 \le 0$. Отрицательно. Если $-5 < x < 0$, например $x = -1$, то $(-1+5)(-1)(2(-1)-1) = (4)(-1)(-3) = 12 \ge 0$. Положительно. Если $0 < x < 1/2$, например $x = 0.1$, то $(0.1+5)(0.1)(2(0.1)-1) = (5.1)(0.1)(-0.8) = -0.408 \le 0$. Отрицательно. Если $x > 1/2$, например $x = 1$, то $(1+5)(1)(2(1)-1) = (6)(1)(1) = 6 \ge 0$. Положительно. Нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю. **Ответ: $x \in [-5; 0] \cup [1/2; +\infty)$** 14. Г) $(4x - 1)(x^2 - 4) < 0$ Разложим вторую скобку как разность квадратов: $(4x - 1)(x - 2)(x + 2) < 0$. Корни: $x = 1/4$, $x = 2$, $x = -2$. Отмечаем их на числовой прямой. ----(-2)----(1/4)----(2)----> x Если $x < -2$, например $x = -3$, то $(4(-3)-1)(-3-2)(-3+2) = (-13)(-5)(-1) = -65 < 0$. Отрицательно. Если $-2 < x < 1/4$, например $x = 0$, то $(4(0)-1)(0-2)(0+2) = (-1)(-2)(2) = 4 > 0$. Положительно. Если $1/4 < x < 2$, например $x = 1$, то $(4(1)-1)(1-2)(1+2) = (3)(-1)(3) = -9 < 0$. Отрицательно. Если $x > 2$, например $x = 3$, то $(4(3)-1)(3-2)(3+2) = (11)(1)(5) = 55 > 0$. Положительно. Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля. **Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (1/4; 2)$**