Преобразуй дробь $\frac{1}{\sqrt{3}}$ таким образом, чтобы знаменатель не содержал числа под знаком корня.

Привет! Давай разберёмся с этими выражениями. ### Задание 895. Преобразуйте дробь таким образом, чтобы знаменатель не содержал числа под знаком корня: Это значит, что нам нужно избавиться от корня внизу дроби. Для этого мы можем умножить числитель и знаменатель на такое число, чтобы корень в знаменателе исчез. а) $\frac{1}{\sqrt{3}}$ Чтобы убрать $\sqrt{3}$ из знаменателя, умножим дробь на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ (это всё равно что умножить на 1, поэтому значение дроби не изменится): $$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ **Ответ: а) $\frac{\sqrt{3}}{3}$** б) $\frac{3}{\sqrt{3}}$ Снова умножаем на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$: $$\frac{3}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$$ **Ответ: б) $\sqrt{3}$** в) $\frac{2}{\sqrt{2}}$ Умножаем на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$: $$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$ **Ответ: в) $\sqrt{2}$** г) $\frac{1}{\sqrt{2}}$ Умножаем на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$: $$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ **Ответ: г) $\frac{\sqrt{2}}{2}$** д) $\frac{1}{3+\sqrt{7}}$ Здесь в знаменателе сумма. Чтобы избавиться от корня, нужно умножить на **сопряжённое выражение**. Сопряжённое выражение для $3+\sqrt{7}$ это $3-\sqrt{7}$. Тогда мы сможем использовать формулу $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. $$\frac{1}{3+\sqrt{7}} \cdot \frac{3-\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}} = \frac{3-\sqrt{7}}{3^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{3-\sqrt{7}}{9-7} = \frac{3-\sqrt{7}}{2}$$ **Ответ: д) $\frac{3-\sqrt{7}}{2}$** е) $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ Здесь тоже сопряжённое выражение. Для $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ это $\sqrt{2}-\sqrt{3}$: $$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1} = -(\sqrt{2}-\sqrt{3}) = \sqrt{3}-\sqrt{2}$$ **Ответ: е) $\sqrt{3}-\sqrt{2}$** ### Задание 896. Упростите выражение: Чтобы упростить выражения с корнями, нужно привести все корни к виду $a\sqrt{b}$, где $b$ — самое маленькое возможное число. Потом мы сможем складывать и вычитать корни с одинаковым числом под корнем, как обычные слагаемые (например, $2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$). И не забывай, что $\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b}$. а) $\sqrt{8} + 5\sqrt{9} - 3\sqrt{8} + 5\sqrt{7} + 2\sqrt{8} - 6\sqrt{7}$ Сначала упростим корни, если это возможно, и найдём значение $\sqrt{9}$: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ $\sqrt{9} = 3$ Теперь подставим это в выражение и сгруппируем похожие корни: $$2\sqrt{2} + 5 \cdot 3 - 3(2\sqrt{2}) + 5\sqrt{7} + 2(2\sqrt{2}) - 6\sqrt{7}$$ $$2\sqrt{2} + 15 - 6\sqrt{2} + 5\sqrt{7} + 4\sqrt{2} - 6\sqrt{7}$$ Сгруппируем слагаемые с $\sqrt{2}$, слагаемые с $\sqrt{7}$ и числа: $$(2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) + (5\sqrt{7} - 6\sqrt{7}) + 15$$ $$(2 - 6 + 4)\sqrt{2} + (5 - 6)\sqrt{7} + 15$$ $$0\sqrt{2} - 1\sqrt{7} + 15$$ $$15 - \sqrt{7}$$ **Ответ: а) $15 - \sqrt{7}$** б) $7\sqrt{12} - 5\sqrt{27} + 8\sqrt{48} - 6\sqrt{75} + 2\sqrt{108}$ Упростим каждый корень: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ $\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ Теперь подставим это в выражение: $$7(2\sqrt{3}) - 5(3\sqrt{3}) + 8(4\sqrt{3}) - 6(5\sqrt{3}) + 2(6\sqrt{3})$$ $$14\sqrt{3} - 15\sqrt{3} + 32\sqrt{3} - 30\sqrt{3} + 12\sqrt{3}$$ Сложим и вычтем коэффициенты при $\sqrt{3}$: $$(14 - 15 + 32 - 30 + 12)\sqrt{3}$$ $$13\sqrt{3}$$ **Ответ: б) $13\sqrt{3}$** в) $2\sqrt{3} - \sqrt{27} + 3\sqrt{12} - 2\sqrt{243}$ Упростим каждый корень: $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ $\sqrt{243} = \sqrt{81 \cdot 3} = 9\sqrt{3}$ Подставим в выражение: $$2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 3(2\sqrt{3}) - 2(9\sqrt{3})$$ $$2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 18\sqrt{3}$$ Сложим и вычтем коэффициенты при $\sqrt{3}$: $$(2 - 3 + 6 - 18)\sqrt{3}$$ $$-13\sqrt{3}$$ **Ответ: в) $-13\sqrt{3}$** г) $\sqrt{50} - 5\sqrt{8} + \sqrt{2} + \sqrt{128}$ Упростим каждый корень: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ $\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$ Подставим в выражение: $$5\sqrt{2} - 5(2\sqrt{2}) + \sqrt{2} + 8\sqrt{2}$$ $$5\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + \sqrt{2} + 8\sqrt{2}$$ Сложим и вычтем коэффициенты при $\sqrt{2}$: $$(5 - 10 + 1 + 8)\sqrt{2}$$ $$4\sqrt{2}$$ **Ответ: г) $4\sqrt{2}$**