Реши неравенство $x^2 + 4x + 3 \leq 0$

Привет! Давай разберёмся с этими неравенствами. Это задания из раздела «Рациональные неравенства». Для каждого неравенства мы будем искать такие значения $x$, при которых оно верно. ### Задание 1.1 #### а) $x^2 + 4x + 3 \leq 0$ Сначала найдём корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$. Можно использовать формулу корней квадратного уравнения или теорему Виета. $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$ $x_1 = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3$ $x_2 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ Теперь, когда у нас есть корни $-3$ и $-1$, мы можем представить параболу $y = x^2 + 4x + 3$. Так как коэффициент при $x^2$ положительный (он равен $1$), ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось $X$ в точках $-3$ и $-1$. Неравенство $x^2 + 4x + 3 \leq 0$ означает, что нас интересуют те значения $x$, при которых парабола находится ниже или на оси $X$. Это происходит между корнями, включая сами корни. **Ответ: а) $x \in [-3; -1]$** #### б) $8 - 2x \geq x^2$ Для удобства перенесём все члены неравенства в одну сторону, чтобы справа остался ноль: $0 \geq x^2 + 2x - 8$ или $x^2 + 2x - 8 \leq 0$ Теперь найдём корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$ $x_1 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4$ $x_2 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$ У нас снова парабола с ветвями вверх (коэффициент при $x^2$ равен $1$). Корни $-4$ и $2$. Неравенство $x^2 + 2x - 8 \leq 0$ выполняется между корнями, включая сами корни. **Ответ: б) $x \in [-4; 2]$** #### в) $-x^2 - 10 \leq 7x$ Перенесём все члены неравенства в одну сторону: $0 \leq x^2 + 7x + 10$ или $x^2 + 7x + 10 \geq 0$ Найдём корни уравнения $x^2 + 7x + 10 = 0$: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$ $x_1 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5$ $x_2 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ Снова парабола с ветвями вверх, корни $-5$ и $-2$. Неравенство $x^2 + 7x + 10 \geq 0$ означает, что парабола должна быть выше или на оси $X$. Это происходит снаружи отрезка между корнями. **Ответ: в) $x \in (-\infty; -5] \cup [-2; +\infty)$** #### г) $x^2 - 6x + 5 \geq 0$ Найдём корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$ $x_1 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $x_2 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$ Парабола с ветвями вверх, корни $1$ и $5$. Неравенство $x^2 - 6x + 5 \geq 0$ означает, что парабола должна быть выше или на оси $X$. Это происходит снаружи отрезка между корнями. **Ответ: г) $x \in (-\infty; 1] \cup [5; +\infty)$** ### Задание 1.2 #### а) $x^2 + 6x + 9 \geq 0$ Это квадратный трёхчлен, который можно свернуть в квадрат суммы: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ Итак, неравенство выглядит так: $(x + 3)^2 \geq 0$. Квадрат любого числа всегда больше или равен нулю. Это означает, что неравенство верно для любых значений $x$. **Ответ: а) $x \in (-\infty; +\infty)$** #### б) $-4x^2 + 20x > 25$ Перенесём все члены в одну сторону, чтобы справа был ноль: $-4x^2 + 20x - 25 > 0$ Умножим обе части неравенства на $-1$ (и при этом не забудь поменять знак неравенства на противоположный): $4x^2 - 20x + 25 < 0$ Теперь посмотрим на левую часть. Это тоже полный квадрат, но уже квадрат разности: $4x^2 - 20x + 25 = (2x - 5)^2$ Неравенство стало: $(2x - 5)^2 < 0$. Квадрат любого числа не может быть отрицательным. Он всегда либо положительный, либо равен нулю. Поэтому не существует таких $x$, при которых $(2x - 5)^2 < 0$. **Ответ: б) Нет решений (или $x \in \emptyset$)** #### в) $49x^2 + 14x + 1 \leq 0$ Левая часть — это тоже полный квадрат: $49x^2 + 14x + 1 = (7x + 1)^2$ Неравенство: $(7x + 1)^2 \leq 0$. Квадрат числа может быть меньше нуля, но мы уже знаем, что это невозможно. Он может быть только равен нулю. Значит, нам нужно найти $x$, при котором $(7x + 1)^2 = 0$. $7x + 1 = 0$ $7x = -1$ $x = -\frac{1}{7}$ **Ответ: в) $x = -\frac{1}{7}$** #### г) $-x^2 + 8x \geq 16$ Перенесём все члены в одну сторону: $-x^2 + 8x - 16 \geq 0$ Умножим обе части неравенства на $-1$ (и поменяем знак неравенства): $x^2 - 8x + 16 \leq 0$ Левая часть — это полный квадрат: $x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2$ Неравенство: $(x - 4)^2 \leq 0$. Как и в предыдущем случае, квадрат числа не может быть отрицательным, он может быть только равен нулю. $x - 4 = 0$ $x = 4$ **Ответ: г) $x = 4$** ### Задание 1.3 #### а) $4x^2 + x + 1 > 0$ Давай найдём дискриминант для $4x^2 + x + 1 = 0$: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15$ Дискриминант отрицательный ($D < 0$), а коэффициент при $x^2$ положительный ($a = 4 > 0$). Это означает, что парабола $y = 4x^2 + x + 1$ никогда не пересекает ось $X$ и всегда находится выше неё. То есть, значение $4x^2 + x + 1$ всегда больше нуля для любых $x$. **Ответ: а) $x \in (-\infty; +\infty)$** #### б) $7x^2 + 3 \leq 2x$ Перенесём все члены в одну сторону: $7x^2 - 2x + 3 \leq 0$ Найдём дискриминант для $7x^2 - 2x + 3 = 0$: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 3 = 4 - 84 = -80$ Дискриминант снова отрицательный ($D < 0$), а коэффициент при $x^2$ положительный ($a = 7 > 0$). Это значит, что парабола $y = 7x^2 - 2x + 3$ всегда находится выше оси $X$. Она никогда не может быть меньше или равна нулю. Поэтому у этого неравенства нет решений. **Ответ: б) Нет решений (или $x \in \emptyset$)** #### в) $3x^2 + 4 < x$ Перенесём все члены в одну сторону: $3x^2 - x + 4 < 0$ Найдём дискриминант для $3x^2 - x + 4 = 0$: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 1 - 48 = -47$ Дискриминант отрицательный ($D < 0$), а коэффициент при $x^2$ положительный ($a = 3 > 0$). Это значит, что парабола $y = 3x^2 - x + 4$ всегда находится выше оси $X$. Она никогда не может быть меньше нуля. Поэтому у этого неравенства нет решений. **Ответ: в) Нет решений (или $x \in \emptyset$)** #### г) $5x^2 + 6x + 13 \geq 0$ Найдём дискриминант для $5x^2 + 6x + 13 = 0$: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 5 \cdot 13 = 36 - 260 = -224$ Дискриминант отрицательный ($D < 0$), а коэффициент при $x^2$ положительный ($a = 5 > 0$). Это значит, что парабола $y = 5x^2 + 6x + 13$ всегда находится выше оси $X$. Она всегда больше нуля. Поэтому неравенство $5x^2 + 6x + 13 \geq 0$ верно для любых значений $x$. **Ответ: г) $x \in (-\infty; +\infty)$** ### Задание 1.4 #### а) $-2x^2 + x - 3 < 0$ Умножим неравенство на $-1$ (и поменяем знак неравенства): $2x^2 - x + 3 > 0$ Найдём дискриминант для $2x^2 - x + 3 = 0$: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = -23$ Дискриминант отрицательный ($D < 0$), а коэффициент при $x^2$ положительный ($a = 2 > 0$). Это значит, что парабола $y = 2x^2 - x + 3$ всегда находится выше оси $X$. Она всегда больше нуля. Поэтому неравенство $2x^2 - x + 3 > 0$ верно для любых значений $x$. **Ответ: а) $x \in (-\infty; +\infty)$** #### б) $-4x^2 + x - 1 \geq 0$ Умножим неравенство на $-1$ (и поменяем знак неравенства): $4x^2 - x + 1 \leq 0$ Найдём дискриминант для $4x^2 - x + 1 = 0$: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 1 - 16 = -15$ Дискриминант отрицательный ($D < 0$), а коэффициент при $x^2$ положительный ($a = 4 > 0$). Это значит, что парабола $y = 4x^2 - x + 1$ всегда находится выше оси $X$. Она никогда не может быть меньше или равна нулю. Поэтому у этого неравенства нет решений. **Ответ: б) Нет решений (или $x \in \emptyset$)** #### в) $-6x^2 + 5x - 8 > 0$ Умножим неравенство на $-1$ (и поменяем знак неравенства): $6x^2 - 5x + 8 < 0$ Найдём дискриминант для $6x^2 - 5x + 8 = 0$: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 8 = 25 - 192 = -167$ Дискриминант отрицательный ($D < 0$), а коэффициент при $x^2$ положительный ($a = 6 > 0$). Это значит, что парабола $y = 6x^2 - 5x + 8$ всегда находится выше оси $X$. Она никогда не может быть меньше нуля. Поэтому у этого неравенства нет решений. **Ответ: в) Нет решений (или $x \in \emptyset$)** #### г) $-3x^2 + 4x - 5 < 0$ Умножим неравенство на $-1$ (и поменяем знак неравенства): $3x^2 - 4x + 5 > 0$ Найдём дискриминант для $3x^2 - 4x + 5 = 0$: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 - 60 = -44$ Дискриминант отрицательный ($D < 0$), а коэффициент при $x^2$ положительный ($a = 3 > 0$). Это значит, что парабола $y = 3x^2 - 4x + 5$ всегда находится выше оси $X$. Она всегда больше нуля. Поэтому неравенство $3x^2 - 4x + 5 > 0$ верно для любых значений $x$. **Ответ: г) $x \in (-\infty; +\infty)$**