Возведи одночлены в степень: $(8x)^2$

Привет! Давай вместе возведём одночлены в степень. Это совсем несложно, нужно просто перемножить все части одночлена столько раз, сколько показывает степень. 4. Выполните возведение одночлена в степень: 1) а) $(8x)^2$ Чтобы возвести $8x$ в квадрат, нужно возвести в квадрат каждый множитель: и 8, и $x$. $$ (8x)^2 = 8^2 \cdot x^2 = 64x^2 $$ **Ответ: $64x^2$** б) $(\frac{1}{3}a^2)^3$ Здесь возводим в куб $\frac{1}{3}$ и $a^2$. Когда мы возводим степень в степень, показатели степеней перемножаются ($ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $). $$ (\frac{1}{3}a^2)^3 = (\frac{1}{3})^3 \cdot (a^2)^3 = \frac{1^3}{3^3} \cdot a^{2 \cdot 3} = \frac{1}{27}a^6 $$ **Ответ: $\frac{1}{27}a^6$** в) $(0,2y^3)^4$ Возводим в четвёртую степень 0,2 и $y^3$. $$ (0,2y^3)^4 = (0,2)^4 \cdot (y^3)^4 = 0,0016y^{3 \cdot 4} = 0,0016y^{12} $$ **Ответ: $0,0016y^{12}$** 2) а) $(4xy)^3$ Возводим в куб каждый множитель: 4, $x$ и $y$. $$ (4xy)^3 = 4^3 \cdot x^3 \cdot y^3 = 64x^3y^3 $$ **Ответ: $64x^3y^3$** б) $(8a^2b)^2$ Возводим в квадрат 8, $a^2$ и $b$. $$ (8a^2b)^2 = 8^2 \cdot (a^2)^2 \cdot b^2 = 64a^{2 \cdot 2}b^2 = 64a^4b^2 $$ **Ответ: $64a^4b^2$** в) $(2a^2c^3)^3$ Возводим в куб 2, $a^2$ и $c^3$. $$ (2a^2c^3)^3 = 2^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (c^3)^3 = 8a^{2 \cdot 3}c^{3 \cdot 3} = 8a^6c^9 $$ **Ответ: $8a^6c^9$** 3) а) $(-\frac{1}{2}ab)^3$ Обрати внимание, что степень нечётная (3), поэтому минус останется. Возводим в куб $\frac{1}{2}$, $a$ и $b$. $$ (-\frac{1}{2}ab)^3 = (-1)^3 \cdot (\frac{1}{2})^3 \cdot a^3 \cdot b^3 = -\frac{1}{8}a^3b^3 $$ **Ответ: $-\frac{1}{8}a^3b^3$** б) $(-10a^3b^2)^4$ Здесь степень чётная (4), поэтому минус исчезнет, а результат будет положительным. Возводим в четвёртую степень 10, $a^3$ и $b^2$. $$ (-10a^3b^2)^4 = (-1)^4 \cdot 10^4 \cdot (a^3)^4 \cdot (b^2)^4 = 1 \cdot 10000 \cdot a^{3 \cdot 4} \cdot b^{2 \cdot 4} = 10000a^{12}b^8 $$ **Ответ: $10000a^{12}b^8$** в) $(-xy^2z^3)^5$ Степень нечётная (5), поэтому минус останется. Возводим в пятую степень $x$, $y^2$ и $z^3$. $$ (-xy^2z^3)^5 = (-1)^5 \cdot x^5 \cdot (y^2)^5 \cdot (z^3)^5 = -x^5y^{2 \cdot 5}z^{3 \cdot 5} = -x^5y^{10}z^{15} $$ **Ответ: $-x^5y^{10}z^{15}$** 4) а) $-(2ax^2)^2$ Здесь минус стоит *перед* скобкой, поэтому он сохранится. Сначала возводим в квадрат $(2ax^2)$. $$ -(2ax^2)^2 = -(2^2 \cdot a^2 \cdot (x^2)^2) = -(4a^2x^{2 \cdot 2}) = -4a^2x^4 $$ **Ответ: $-4a^2x^4$** б) $-(-4x^3c)^3$ Здесь у нас минус перед скобкой, а внутри скобки тоже минус, который возводится в нечётную степень. Сначала возводим в куб одночлен в скобках, а потом применим внешний минус. $$ -(-4x^3c)^3 = - ((-1)^3 \cdot 4^3 \cdot (x^3)^3 \cdot c^3) = -(-1 \cdot 64 \cdot x^{3 \cdot 3} \cdot c^3) = -(-64x^9c^3) = 64x^9c^3 $$ **Ответ: $64x^9c^3$** в) $-(-a^2b^3c^4)^4$ Сначала возведём в четвёртую степень одночлен в скобках. Так как степень чётная, минус внутри скобки исчезнет. А затем применим внешний минус. $$ -(-a^2b^3c^4)^4 = - ((-1)^4 \cdot (a^2)^4 \cdot (b^3)^4 \cdot (c^4)^4) = -(1 \cdot a^{2 \cdot 4} \cdot b^{3 \cdot 4} \cdot c^{4 \cdot 4}) = -(a^8b^{12}c^{16}) = -a^8b^{12}c^{16} $$ **Ответ: $-a^8b^{12}c^{16}$**