Привет! Давай разберемся с этими выражениями.
### Задание 1. Какие из выражений являются целыми, какие — дробными?
Целые выражения — это те, которые не содержат деления на переменные. Дробные выражения — это те, в которых есть деление на переменные (или выражения с переменными в знаменателе).
а) $$\frac{a^2 - 2ab}{12}$$ — Это целое выражение, потому что в знаменателе стоит просто число, а не переменная.
б) $$(c+3)^2 + \frac{2}{c}$$ — Это дробное выражение, потому что переменная $c$ стоит в знаменателе.
в) $$\frac{1}{3}a^2b$$ — Это целое выражение, потому что в знаменателе нет переменной, только число 3.
г) $$(x-y)^2 - 4xy$$ — Это целое выражение, здесь нет деления на переменные.
д) $$\frac{m+3}{m-3}$$ — Это дробное выражение, потому что переменная $m$ стоит в знаменателе.
е) $$\frac{8}{x^2+y^2}$$ — Это дробное выражение, потому что переменные $x$ и $y$ стоят в знаменателе.
### Задание 2. Из рациональных выражений $7x^2 - 2xy$, $$\frac{9}{b}$$, $$\frac{a}{12}$$, $$\frac{b}{a(a-b)-3a}$$ выпишите те, которые являются:
Рациональные выражения — это выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления. Среди них есть целые и дробные.
а) **Целыми выражениями:**
* $$7x^2 - 2xy$$ — Здесь нет деления на переменные.
* $$\frac{a}{12}$$ — Здесь деление на число, а не на переменную.
б) **Дробными выражениями:**
* $$\frac{9}{b}$$ — Здесь переменная $b$ в знаменателе.
* $$\frac{b}{a(a-b)-3a}$$ — Здесь переменные $a$ и $b$ в знаменателе.
### Задание 3. Найдите значение дроби $$\frac{y-1}{y-1}$$ при $y = 3; 1; -5; -1; 6; 100.$ Допущение: мы считаем, что значение дроби нужно найти для каждого указанного значения $y$, при условии, что знаменатель не равен нулю.
Дробь $$\frac{y-1}{y-1}$$ можно сократить до 1, если $y-1 \neq 0$ (то есть $y \neq 1$).
* При $y=3$: $$\frac{3-1}{3-1} = \frac{2}{2} = 1$$
* При $y=1$: В этом случае знаменатель $y-1$ будет равен 0 ($1-1=0$), а на 0 делить нельзя. Поэтому для $y=1$ выражение не определено.
* При $y=-5$: $$\frac{-5-1}{-5-1} = \frac{-6}{-6} = 1$$
* При $y=-1$: $$\frac{-1-1}{-1-1} = \frac{-2}{-2} = 1$$
* При $y=6$: $$\frac{6-1}{6-1} = \frac{5}{5} = 1$$
* При $y=100$: $$\frac{100-1}{100-1} = \frac{99}{99} = 1$$
**Ответ:** При $y=3$, $y=-5$, $y=-1$, $y=6$, $y=100$ значение дроби равно **1**. При $y=1$ дробь не определена.
### Задание 4. Найдите значение дроби:
а) $$\frac{a-8}{2a+5}$$ при $a = -2$:
Подставим $a=-2$ в дробь:
$$ \frac{(-2)-8}{2(-2)+5} = \frac{-10}{-4+5} = \frac{-10}{1} = -10 $$
б) $$\frac{b^2+6}{b^2+b}$$ при $b = 3$:
Подставим $b=3$ в дробь:
$$ \frac{3^2+6}{3^2+3} = \frac{9+6}{9+3} = \frac{15}{12} $$
Можно сократить дробь на 3:
$$ \frac{15 \div 3}{12 \div 3} = \frac{5}{4} $$
Или перевести в десятичную дробь: $$\frac{5}{4} = 1.25$$
**Ответ:** а) **-10**; б) **1.25**
### Задание 5. Чему равно значение дроби $$\frac{(a+b)^2+1}{a^2-1}$$ при:
а) $a = -3$, $b = -1$:
Подставим значения $a=-3$ и $b=-1$ в дробь:
$$ \frac{(-3+(-1))^2+1}{(-3)^2-1} = \frac{(-4)^2+1}{9-1} = \frac{16+1}{8} = \frac{17}{8} $$
Можно перевести в десятичную дробь: $$\frac{17}{8} = 2.125$$
б) $a = 1$, $b = 0,5$:
Подставим значения $a=1$ и $b=0.5$ в дробь:
Знаменатель $a^2-1 = 1^2-1 = 1-1 = 0$. Деление на 0 невозможно.
Поэтому для этих значений $a$ и $b$ выражение не определено.
**Ответ:** а) **2.125**; б) **дробь не определена**.
