Найди сумму углов выпуклого пятиугольника и десятиугольника. А также сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, если каждый угол равен 90°, 60°, 120° и 108°? И еще найди стороны четырёхугольника, если его периметр равен 8 см, а одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм.

Отлично, давай решим эти задачки по геометрии! **364. Найдите сумму углов выпуклого:** Чтобы найти сумму углов выпуклого многоугольника, есть такая формула: $S = (n - 2) \cdot 180^\circ$, где $n$ — это количество сторон многоугольника. а) **пятиугольника** У пятиугольника $n = 5$ сторон. $S = (5 - 2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$ б) **десятиугольника** У десятиугольника $n = 10$ сторон. $S = (10 - 2) \cdot 180^\circ = 8 \cdot 180^\circ = 1440^\circ$ **365. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен:** Если многоугольник выпуклый и все его углы равны, то мы можем использовать ту же формулу. Сумма всех углов делится на количество углов (сторон) и получается градусная мера одного угла: $A = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$. а) $90^\circ$ Нам нужно найти $n$, зная, что $A = 90^\circ$. $90^\circ = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$ Умножим обе части на $n$: $90n = (n - 2) \cdot 180$ Раскроем скобки: $90n = 180n - 360$ Перенесём $90n$ в правую часть, а $360$ в левую: $360 = 180n - 90n$ $360 = 90n$ Разделим на $90$: $n = \frac{360}{90} = 4$ Это квадрат или прямоугольник, у него 4 стороны. б) $60^\circ$ $60^\circ = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$ $60n = (n - 2) \cdot 180$ $60n = 180n - 360$ $360 = 180n - 60n$ $360 = 120n$ $n = \frac{360}{120} = 3$ Это треугольник, у него 3 стороны. в) $120^\circ$ $120^\circ = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$ $120n = (n - 2) \cdot 180$ $120n = 180n - 360$ $360 = 180n - 120n$ $360 = 60n$ $n = \frac{360}{60} = 6$ Это шестиугольник, у него 6 сторон. г) $108^\circ$ $108^\circ = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$ $108n = (n - 2) \cdot 180$ $108n = 180n - 360$ $360 = 180n - 108n$ $360 = 72n$ $n = \frac{360}{72} = 5$ Это пятиугольник, у него 5 сторон. **366. Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 8 см, а одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм.** **Допущение:** В задаче сказано "одна сторона больше каждой из других сторон". Будем считать, что речь идёт о самой длинной стороне, и она больше трёх остальных сторон. Переведём все измерения в миллиметры, так будет удобнее. Периметр $P = 8 \text{ см} = 80 \text{ мм}$. Пусть самая длинная сторона будет $x$ мм. Тогда другие три стороны будут: Вторая сторона: $x - 3$ мм Третья сторона: $x - 4$ мм Четвёртая сторона: $x - 5$ мм Периметр — это сумма всех сторон: $x + (x - 3) + (x - 4) + (x - 5) = 80$ Составим и решим уравнение: $x + x - 3 + x - 4 + x - 5 = 80$ Сложим все $x$ и все числа: $4x - (3 + 4 + 5) = 80$ $4x - 12 = 80$ Перенесём $12$ в правую часть со знаком плюс: $4x = 80 + 12$ $4x = 92$ Разделим на $4$: $x = \frac{92}{4} = 23$ Итак, стороны четырёхугольника: Первая сторона: $x = 23 \text{ мм}$ (или $2,3 \text{ см}$) Вторая сторона: $23 - 3 = 20 \text{ мм}$ (или $2 \text{ см}$) Третья сторона: $23 - 4 = 19 \text{ мм}$ (или $1,9 \text{ см}$) Четвёртая сторона: $23 - 5 = 18 \text{ мм}$ (или $1,8 \text{ см}$) **Ответ:** **364.** **а) $540^\circ$** **б) $1440^\circ$** **365.** **а) 4 стороны (четырёхугольник)** **б) 3 стороны (треугольник)** **в) 6 сторон (шестиугольник)** **г) 5 сторон (пятиугольник)** **366. Стороны четырёхугольника равны $2,3 \text{ см}$, $2 \text{ см}$, $1,9 \text{ см}$ и $1,8 \text{ см}$.**