Реши уравнения: (2x - 3)³ - (2x - 3)² = 12x - 18 и (2x - 1)⁴ - x² = 0

Привет! Давай вместе решим эти уравнения. ### г) $(2x - 3)^3 - (2x - 3)^2 = 12x - 18$ Смотри, сначала давай заметим, что $12x - 18$ можно записать по-другому, если вынести общий множитель 6: $$12x - 18 = 6(2x - 3)$$ Теперь наше уравнение выглядит так: $$(2x - 3)^3 - (2x - 3)^2 = 6(2x - 3)$$ Теперь перенесём всё в левую часть, чтобы справа остался 0: $$(2x - 3)^3 - (2x - 3)^2 - 6(2x - 3) = 0$$ Видишь, у нас есть общий множитель $(2x - 3)$? Давай его вынесем за скобки: $$(2x - 3) \left( (2x - 3)^2 - (2x - 3) - 6 \right) = 0$$ Теперь у нас два множителя, которые дают в произведении 0. Это значит, что один из них (или оба) должны быть равны 0. **Случай 1:** Первый множитель равен 0. $$2x - 3 = 0$$ $$2x = 3$$ $$x = \frac{3}{2}$$ $$x = 1.5$$ **Случай 2:** Второй множитель равен 0. Давай раскроем скобки во втором множителе: $$(2x - 3)^2 - (2x - 3) - 6 = 0$$ Помнишь формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$? Применим её: $$(4x^2 - 12x + 9) - (2x - 3) - 6 = 0$$ Раскрываем скобки и меняем знаки там, где перед скобкой минус: $$4x^2 - 12x + 9 - 2x + 3 - 6 = 0$$ Приведём подобные слагаемые: $$4x^2 + (-12x - 2x) + (9 + 3 - 6) = 0$$ $$4x^2 - 14x + 6 = 0$$ Это квадратное уравнение! Его можно разделить на 2, чтобы коэффициенты стали поменьше: $$2x^2 - 7x + 3 = 0$$ Теперь найдём дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3$$ $$D = 49 - 24$$ $$D = 25$$ Так как $D > 0$, у нас будет два разных корня. Найдём их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$$ $$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5$$ Итак, у нас получилось три корня для этого уравнения. **Ответ: $x = 1.5$, $x = 3$, $x = 0.5$** ### а) $(2x - 1)^4 - x^2 = 0$ Это уравнение тоже можно решить, используя разложение на множители. Смотри, $(2x - 1)^4$ это то же самое, что $((2x - 1)^2)^2$. А значит, у нас есть разность квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Пусть $A = (2x - 1)^2$ и $B = x$. Тогда: $$((2x - 1)^2)^2 - x^2 = 0$$ $$((2x - 1)^2 - x)((2x - 1)^2 + x) = 0$$ Теперь раскроем $(2x - 1)^2$ в каждой скобке: $$(4x^2 - 4x + 1 - x)(4x^2 - 4x + 1 + x) = 0$$ Приведём подобные слагаемые в каждой скобке: $$(4x^2 - 5x + 1)(4x^2 - 3x + 1) = 0$$ Теперь, как и в предыдущем уравнении, у нас произведение двух множителей равно 0. Значит, каждый множитель может быть равен 0. **Случай 1:** Первый множитель равен 0. $$4x^2 - 5x + 1 = 0$$ Найдём дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1$$ $$D = 25 - 16$$ $$D = 9$$ Теперь найдём корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$$ $$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0.25$$ **Случай 2:** Второй множитель равен 0. $$4x^2 - 3x + 1 = 0$$ Найдём дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1$$ $$D = 9 - 16$$ $$D = -7$$ Так как $D < 0$, это квадратное уравнение не имеет действительных корней. (То есть, среди обычных чисел, которые мы используем, нет такого числа, которое подошло бы в это уравнение. С такими числами вы познакомитесь в старших классах). Итак, у нас получилось два корня для этого уравнения. **Ответ: $x = 1$, $x = 0.25$**