Выполни действия: 5/6 + 1/4

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями по математике. Тут нужно выполнить разные действия с дробями и десятичными числами. ### Задание 7. Выполните действие: а) Чтобы сложить дроби $\frac{5}{6}$ и $\frac{1}{4}$, нам нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 6 и 4 — это 12. $$\frac{5}{6} + \frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{10}{12} + \frac{3}{12} = \frac{10+3}{12} = \frac{13}{12} = 1\frac{1}{12}$$ б) Чтобы вычесть дроби $\frac{7}{8}$ и $\frac{5}{6}$, тоже приведём их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 8 и 6 — это 24. $$\frac{7}{8} - \frac{5}{6} = \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{21}{24} - \frac{20}{24} = \frac{21-20}{24} = \frac{1}{24}$$ в) Для вычитания дробей $\frac{3}{10}$ и $\frac{4}{15}$ общий знаменатель — 30. $$\frac{3}{10} - \frac{4}{15} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} - \frac{4 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{9}{30} - \frac{8}{30} = \frac{9-8}{30} = \frac{1}{30}$$ г) Здесь мы вычитаем смешанную дробь из целого числа. Сначала представим 5 как $4\frac{7}{7}$, чтобы было удобно вычитать. $$5 - 3\frac{2}{7} = 4\frac{7}{7} - 3\frac{2}{7} = (4-3) + (\frac{7}{7} - \frac{2}{7}) = 1 + \frac{5}{7} = 1\frac{5}{7}$$ д) Для умножения дробей $\frac{4}{9}$ и $\frac{3}{8}$ можно сократить числа по диагонали. $$\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 8} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$$ е) Для деления дробей $\frac{5}{8}$ и $\frac{9}{10}$ нужно первую дробь умножить на перевёрнутую вторую. $$\frac{5}{8} : \frac{9}{10} = \frac{5}{8} \cdot \frac{10}{9} = \frac{5 \cdot 10}{8 \cdot 9} = \frac{5 \cdot 5}{4 \cdot 9} = \frac{25}{36}$$ ж) Сначала переведём смешанную дробь $2\frac{6}{7}$ в неправильную: $2\frac{6}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{14+6}{7} = \frac{20}{7}$. Потом переведём $1\frac{3}{7}$ в неправильную: $1\frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{10}{7}$. Теперь делим, умножая на перевёрнутую дробь. $$2\frac{6}{7} : 1\frac{3}{7} = \frac{20}{7} : \frac{10}{7} = \frac{20}{7} \cdot \frac{7}{10} = \frac{20}{10} = 2$$ з) Умножаем обычную дробь на целое число. Можно представить 10 как $\frac{10}{1}$. $$6\frac{3}{5} \cdot 10 = \frac{33}{5} \cdot 10 = \frac{33 \cdot 10}{5} = 33 \cdot 2 = 66$$ ### Задание 8. Выполните действие: а) Вычитание десятичных дробей. $$4,2 - 8 = -3,8$$ б) Сложение отрицательных десятичных дробей. Так как оба числа отрицательные, мы складываем их модули и ставим знак минус. $$-2,4 + 5,6 = 5,6 - 2,4 = 3,2$$ в) Сложение отрицательных десятичных дробей. $$-2,1 - 3,2 = -(2,1 + 3,2) = -5,3$$ г) Умножение десятичных дробей. Сначала умножим числа без запятых: $12 \cdot 5 = 60$. Потом посчитаем количество знаков после запятой (один у 1,2 и один у 5, всего два) и поставим запятую в ответе. $$1,2 \cdot (-5) = -6,0 = -6$$ д) Умножение отрицательных десятичных дробей. Минус на минус даёт плюс. Умножаем $84 \cdot 5 = 420$. Всего два знака после запятой. $$-8,4 \cdot (-5) = 42,0 = 42$$ е) Умножение отрицательных десятичных дробей. Минус на минус даёт плюс. Умножаем $0,9 \cdot 0,1 = 0,09$. $$-0,9 \cdot (-0,1) = 0,09$$ ж) Деление. Когда делишь положительное число на отрицательное, ответ будет отрицательным. $$38 : (-0,19)$$ Перенесём запятую в делителе на два знака вправо, чтобы он стал целым числом (19). Тогда в делимом тоже нужно перенести запятую на два знака вправо, добавив нули. $$38,00 : 0,19 = 3800 : 19 = 200$$ Значит, $38 : (-0,19) = -200$. з) Деление. Минус на плюс даёт минус. $$-16 : 0,2$$ Перенесём запятую в делителе на один знак вправо (2). В делимом тоже добавляем один ноль (160). $$-160 : 2 = -80$$ и) Деление. Минус на минус даёт плюс. $$-6,4 : (-8) = 0,8$$ ### Задание 9. Вычислите: а) Вычитание смешанных дробей. Переведём $6\frac{1}{3}$ в неправильную дробь $\frac{19}{3}$ и 8 в $\frac{24}{3}$. $$6\frac{1}{3} - 8 = \frac{19}{3} - \frac{24}{3} = \frac{19-24}{3} = \frac{-5}{3} = -1\frac{2}{3}$$ б) Сложение смешанных дробей. Сначала сложим целые части, потом дробные. Дробные приведём к общему знаменателю 28. $$-2\frac{2}{7} + 4\frac{3}{4} = -2 - \frac{2}{7} + 4 + \frac{3}{4} = (4-2) + (\frac{3}{4} - \frac{2}{7}) = 2 + (\frac{21}{28} - \frac{8}{28}) = 2 + \frac{13}{28} = 2\frac{13}{28}$$ в) Вычитание смешанных дробей. Переведём смешанные дроби в неправильные. $5\frac{1}{3} = \frac{16}{3}$, $6\frac{1}{4} = \frac{25}{4}$. Общий знаменатель 12. $$5\frac{1}{3} - 6\frac{1}{4} = \frac{16}{3} - \frac{25}{4} = \frac{16 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{25 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{64}{12} - \frac{75}{12} = \frac{64-75}{12} = \frac{-11}{12}$$ г) Умножение. Минус на минус даёт плюс. Переведём $3\frac{3}{8}$ в неправильную дробь $\frac{27}{8}$. $$-3\frac{3}{8} \cdot (\frac{16}{9}) = -\frac{27}{8} \cdot \frac{16}{9}$$ Сократим 27 и 9 (на 9), 16 и 8 (на 8): $$ = -\frac{3}{1} \cdot \frac{2}{1} = -6$$ д) Деление. Минус на плюс даёт минус. Переведём $5\frac{7}{12}$ в неправильную дробь $\frac{67}{12}$. $$5\frac{7}{12} : (-6) = \frac{67}{12} : (-\frac{6}{1}) = \frac{67}{12} \cdot (-\frac{1}{6}) = -\frac{67}{72}$$ е) Умножение смешанной дроби на десятичную. Минус на минус даёт плюс. Переведём $3\frac{2}{9}$ в неправильную дробь $\frac{29}{9}$. Десятичную дробь 3 можно представить как $\frac{3}{1}$. $$-3\frac{2}{9} \cdot (-3) = \frac{29}{9} \cdot 3 = \frac{29 \cdot 3}{9} = \frac{29}{3} = 9\frac{2}{3}$$ ж) Деление. Минус на плюс даёт минус. Переведём $4\frac{1}{7}$ в неправильную дробь $\frac{29}{7}$. $$4\frac{1}{7} : (-49) = \frac{29}{7} : (-\frac{49}{1}) = \frac{29}{7} \cdot (-\frac{1}{49}) = -\frac{29}{343}$$ и) Умножение. Минус на минус даёт плюс. Переведём смешанные дроби в неправильные. $3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$, $1\frac{3}{7} = \frac{10}{7}$. $$-3\frac{1}{2} \cdot (-1\frac{3}{7}) = \frac{7}{2} \cdot \frac{10}{7}$$ Сократим 7 и 7 (на 7), 10 и 2 (на 2): $$ = \frac{1}{1} \cdot \frac{5}{1} = 5$$