Вычисли значение выражения $2 : 2\frac{2}{3} + 1\frac{4}{5} \cdot 3\frac{1}{3} - 2\frac{5}{6}$

Привет! Давай разберемся с этими интересными примерами. Главное, что нужно помнить — это как работать с дробями и смешанными числами. Приступим! **Задание №1. Выполни действия со смешанными числами.** а) Чтобы сложить $1\frac{2}{5} + 3\frac{7}{15}$, сначала переведем смешанные числа в неправильные дроби, а потом приведем их к общему знаменателю. $1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$ $3\frac{7}{15} = \frac{3 \cdot 15 + 7}{15} = \frac{45 + 7}{15} = \frac{52}{15}$ Общий знаменатель для 5 и 15 — это 15. Значит, первую дробь умножим на 3: $\frac{7}{5} = \frac{7 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{21}{15}$ Теперь складываем: $\frac{21}{15} + \frac{52}{15} = \frac{21 + 52}{15} = \frac{73}{15}$ Выделим целую часть: $\frac{73}{15} = 4\frac{13}{15}$ **Ответ: $4\frac{13}{15}$** б) Чтобы вычесть $4\frac{3}{14} - 1\frac{2}{21}$, тоже сначала переведем в неправильные дроби, а потом приведем к общему знаменателю. $4\frac{3}{14} = \frac{4 \cdot 14 + 3}{14} = \frac{56 + 3}{14} = \frac{59}{14}$ $1\frac{2}{21} = \frac{1 \cdot 21 + 2}{21} = \frac{21 + 2}{21} = \frac{23}{21}$ Найдем общий знаменатель для 14 и 21. Разложим их на множители: $14 = 2 \cdot 7$, $21 = 3 \cdot 7$. Общий знаменатель будет $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$. Теперь приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{59}{14} = \frac{59 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{177}{42}$ $\frac{23}{21} = \frac{23 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{46}{42}$ Вычитаем: $\frac{177}{42} - \frac{46}{42} = \frac{177 - 46}{42} = \frac{131}{42}$ Выделим целую часть: $\frac{131}{42} = 3\frac{5}{42}$ **Ответ: $3\frac{5}{42}$** в) Сложим $3\frac{5}{6} + 2\frac{7}{15}$. Переводим в неправильные дроби: $3\frac{5}{6} = \frac{3 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{18 + 5}{6} = \frac{23}{6}$ $2\frac{7}{15} = \frac{2 \cdot 15 + 7}{15} = \frac{30 + 7}{15} = \frac{37}{15}$ Общий знаменатель для 6 и 15. Разложим на множители: $6 = 2 \cdot 3$, $15 = 3 \cdot 5$. Общий знаменатель: $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$. Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{23}{6} = \frac{23 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{115}{30}$ $\frac{37}{15} = \frac{37 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{74}{30}$ Складываем: $\frac{115}{30} + \frac{74}{30} = \frac{115 + 74}{30} = \frac{189}{30}$ Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{189 \div 3}{30 \div 3} = \frac{63}{10}$ Выделим целую часть: $\frac{63}{10} = 6\frac{3}{10}$ **Ответ: $6\frac{3}{10}$** **Задание №2. Выполни действия со смешанными числами.** а) Умножим $4\frac{1}{6} \cdot 3\frac{3}{5}$. Переведем в неправильные дроби: $4\frac{1}{6} = \frac{4 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{24 + 1}{6} = \frac{25}{6}$ $3\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{15 + 3}{5} = \frac{18}{5}$ Умножаем дроби, можно сократить до умножения: $\frac{25}{6} \cdot \frac{18}{5} = \frac{25 \cdot 18}{6 \cdot 5}$ Сокращаем 25 и 5 на 5: $\frac{5 \cdot 18}{6 \cdot 1}$ Сокращаем 18 и 6 на 6: $\frac{5 \cdot 3}{1 \cdot 1} = 15$ **Ответ: $15$** б) Разделим $1\frac{7}{13} : 1\frac{4}{19}$. Переводим в неправильные дроби: $1\frac{7}{13} = \frac{1 \cdot 13 + 7}{13} = \frac{13 + 7}{13} = \frac{20}{13}$ $1\frac{4}{19} = \frac{1 \cdot 19 + 4}{19} = \frac{19 + 4}{19} = \frac{23}{19}$ Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую: $\frac{20}{13} : \frac{23}{19} = \frac{20}{13} \cdot \frac{19}{23} = \frac{20 \cdot 19}{13 \cdot 23} = \frac{380}{299}$ Выделим целую часть: $\frac{380}{299} = 1\frac{81}{299}$ **Ответ: $1\frac{81}{299}$** в) Вычислим $2\frac{2}{3} \cdot 1\frac{1}{8} : 6\frac{2}{3}$. Сначала переведем все смешанные числа в неправильные дроби: $2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{6 + 2}{3} = \frac{8}{3}$ $1\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{8 + 1}{8} = \frac{9}{8}$ $6\frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{18 + 2}{3} = \frac{20}{3}$ Теперь выполним умножение и деление слева направо: 1. Умножение: $\frac{8}{3} \cdot \frac{9}{8}$ Можно сократить 8 и 8, а также 9 и 3: $\frac{\cancel{8}}{3} \cdot \frac{9}{\cancel{8}} = \frac{9}{3} = 3$ 2. Деление: $3 : \frac{20}{3}$ Чтобы разделить на дробь, умножаем на перевернутую дробь: $3 \cdot \frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 3}{20} = \frac{9}{20}$ **Ответ: $\frac{9}{20}$** **Задание №3. Вычисли значение выражения.** Выражение: $2 : 2\frac{2}{3} + 1\frac{4}{5} \cdot 3\frac{1}{3} - 2\frac{5}{6}$ Давай выполнять по порядку действий: сначала деление и умножение, потом сложение и вычитание. 1. **Деление:** $2 : 2\frac{2}{3}$ Переведем $2\frac{2}{3}$ в неправильную дробь: $2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$ $2 : \frac{8}{3} = 2 \cdot \frac{3}{8} = \frac{2 \cdot 3}{8} = \frac{6}{8}$ Сократим дробь на 2: $\frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4}$ 2. **Умножение:** $1\frac{4}{5} \cdot 3\frac{1}{3}$ Переведем в неправильные дроби: $1\frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{9}{5}$ $3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$ Умножаем: $\frac{9}{5} \cdot \frac{10}{3} = \frac{9 \cdot 10}{5 \cdot 3}$ Сократим 9 и 3 на 3, а 10 и 5 на 5: $\frac{\cancel{9}^3}{\cancel{5}^1} \cdot \frac{\cancel{10}^2}{\cancel{3}^1} = 3 \cdot 2 = 6$ 3. Теперь подставим полученные значения в исходное выражение и выполним сложение и вычитание: $\frac{3}{4} + 6 - 2\frac{5}{6}$ Представим 6 как $5\frac{4}{4}$ (или просто 6) и $2\frac{5}{6}$ как неправильную дробь: $2\frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6}$ $\frac{3}{4} + 6 - \frac{17}{6}$ Найдем общий знаменатель для 4 и 6. Это 12. $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$ $\frac{17}{6} = \frac{17 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{34}{12}$ Теперь выполним действия: $6 + \frac{9}{12} - \frac{34}{12} = 6 + \frac{9 - 34}{12} = 6 - \frac{25}{12}$ Переведем 6 в дробь со знаменателем 12: $6 = \frac{6 \cdot 12}{12} = \frac{72}{12}$ $\frac{72}{12} - \frac{25}{12} = \frac{72 - 25}{12} = \frac{47}{12}$ Выделим целую часть: $\frac{47}{12} = 3\frac{11}{12}$ **Ответ: $3\frac{11}{12}$**