Привет! Давай вместе вычислим эти примеры. Для этого мы будем использовать правила работы со степенями. Помнишь их? Если у нас деление чисел с одинаковым основанием, то показатели степеней вычитаются, а если умножение — складываются. И ещё, когда степень возводится в другую степень, показатели перемножаются.
1) $$100^5 : 1000^2$$
Сначала давай представим 100 и 1000 как степени числа 10.
$$100 = 10^2$$
$$1000 = 10^3$$
Теперь подставим это в наш пример:
$$(10^2)^5 : (10^3)^2$$
Когда степень возводится в степень, показатели перемножаются:
$$10^{2 \cdot 5} : 10^{3 \cdot 2}$$
$$10^{10} : 10^6$$
Теперь у нас деление степеней с одинаковым основанием, значит, показатели вычитаются:
$$10^{10 - 6}$$
$$10^4$$
А это значит, что 10 умножается само на себя 4 раза:
$$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$$
**Ответ: 10000**
2) $$\frac{3^{10} \cdot (3^3)^5}{(3^5)^4 \cdot 3}$$
Сначала разберёмся со степенями в скобках, где степень возводится в степень. Мы уже знаем, что показатели перемножаются:
$$3^{10} \cdot 3^{3 \cdot 5} \quad \text{и} \quad 3^{5 \cdot 4}$$
Получаем:
$$\frac{3^{10} \cdot 3^{15}}{3^{20} \cdot 3^1}$$
Теперь в числителе и знаменателе у нас умножение степеней с одинаковым основанием, значит, показатели складываются. Не забудь, что просто "3" — это $3^1$:
$$\frac{3^{10 + 15}}{3^{20 + 1}}$$
$$\frac{3^{25}}{3^{21}}$$
И наконец, деление степеней с одинаковым основанием, показатели вычитаются:
$$3^{25 - 21}$$
$$3^4$$
Это значит, 3 умножается само на себя 4 раза:
$$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$$
**Ответ: 81**
3) $$\frac{4^3 \cdot 16^2}{2^{12}}$$
Давай попробуем привести все числа к основанию 2. Мы знаем, что:
$$4 = 2^2$$
$$16 = 2^4$$
Подставим это в пример:
$$\frac{(2^2)^3 \cdot (2^4)^2}{2^{12}}$$
Снова возводим степень в степень, перемножаем показатели:
$$\frac{2^{2 \cdot 3} \cdot 2^{4 \cdot 2}}{2^{12}}$$
$$\frac{2^6 \cdot 2^8}{2^{12}}$$
В числителе умножение степеней, складываем показатели:
$$\frac{2^{6 + 8}}{2^{12}}$$
$$\frac{2^{14}}{2^{12}}$$
И деление степеней, вычитаем показатели:
$$2^{14 - 12}$$
$$2^2$$
А $2^2$ — это $2 \cdot 2 = 4$.
**Ответ: 4**
4) $$\frac{45^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}}$$
Сначала разложим число 45 на простые множители. $45 = 5 \cdot 9 = 5 \cdot 3^2$.
Теперь подставим это в числитель:
$$\frac{(5 \cdot 3^2)^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}}$$
Когда произведение возводится в степень, каждый множитель возводится в эту степень:
$$\frac{5^{10} \cdot (3^2)^{10}}{5^8 \cdot 3^{19}}$$
Степень возводится в степень, показатели перемножаются:
$$\frac{5^{10} \cdot 3^{2 \cdot 10}}{5^8 \cdot 3^{19}}$$
$$\frac{5^{10} \cdot 3^{20}}{5^8 \cdot 3^{19}}$$
Теперь можно разделить отдельно степени с основанием 5 и отдельно степени с основанием 3. При делении показатели вычитаются:
$$(5^{10} : 5^8) \cdot (3^{20} : 3^{19})$$
$$5^{10 - 8} \cdot 3^{20 - 19}$$
$$5^2 \cdot 3^1$$
$$25 \cdot 3$$
$$75$$
**Ответ: 75**
