Реши тригонометрическое уравнение cos 3x - cos 5x = sin 4x

Привет! Давай вместе решим это тригонометрическое уравнение. $$\cos 3x - \cos 5x = \sin 4x$$ Сначала вспомним формулу для разности косинусов: $$\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$$ Применим её к левой части уравнения: $$-2 \sin \frac{3x+5x}{2} \sin \frac{3x-5x}{2} = \sin 4x$$ $$-2 \sin \frac{8x}{2} \sin \frac{-2x}{2} = \sin 4x$$ $$-2 \sin 4x \sin (-x) = \sin 4x$$ Так как $\sin(-x) = -\sin x$, то: $$-2 \sin 4x (-\sin x) = \sin 4x$$ $$2 \sin 4x \sin x = \sin 4x$$ Теперь перенесём все слагаемые в одну сторону и вынесем общий множитель: $$2 \sin 4x \sin x - \sin 4x = 0$$ $$\sin 4x (2 \sin x - 1) = 0$$ У нас получилось произведение двух множителей, которое равно нулю. Это значит, что либо первый множитель равен нулю, либо второй множитель равен нулю (или оба): **Случай 1:** $\sin 4x = 0$ Отсюда $4x = \pi n$, где $n$ — любое целое число. Делим обе части на 4: $$x = \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$$ **Случай 2:** $2 \sin x - 1 = 0$ $$2 \sin x = 1$$ $$\sin x = \frac{1}{2}$$ Это уравнение имеет два решения: $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$$ **Ответ:** 1. $$x = \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$$ 2. $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$ 3. $$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$$