Реши уравнение \log_2^2(4-x) = 9

Привет! Давай разберём задания по очереди. ### Задание 1 Решим уравнение $\log_2^2(4-x) = 9$. Это логарифмическое уравнение. Сначала найдём, что $4-x$ должно быть больше нуля, так как это выражение под логарифмом. Значит, $4-x > 0$, или $x < 4$. Теперь вернёмся к уравнению: $(\log_2(4-x))^2 = 9$. Это значит, что $\log_2(4-x)$ может быть равно $3$ или $-3$. **Случай 1:** $\log_2(4-x) = 3$ Чтобы найти $4-x$, нам нужно возвести основание логарифма (это 2) в степень 3: $4-x = 2^3$ $4-x = 8$ $x = 4-8$ $x = -4$ Это значение подходит, так как $x = -4 < 4$. **Случай 2:** $\log_2(4-x) = -3$ Точно так же возводим основание 2 в степень -3: $4-x = 2^{-3}$ $4-x = \frac{1}{2^3}$ $4-x = \frac{1}{8}$ $x = 4 - \frac{1}{8}$ $x = \frac{32}{8} - \frac{1}{8}$ $x = \frac{31}{8}$ Это значение тоже подходит, так как $x = \frac{31}{8} = 3,875 < 4$. **Ответ:** $x = -4$, $x = \frac{31}{8}$ ### Задание 2 Решим уравнение $3^{x+3} - 12 \cdot 3^x = 105$. Это показательное уравнение. Мы можем переписать $3^{x+3}$ как $3^x \cdot 3^3$. Тогда уравнение станет: $3^x \cdot 3^3 - 12 \cdot 3^x = 105$ $3^x \cdot 27 - 12 \cdot 3^x = 105$ Теперь вынесем $3^x$ за скобки: $3^x (27 - 12) = 105$ $3^x (15) = 105$ Разделим обе части на 15: $3^x = \frac{105}{15}$ $3^x = 7$ Чтобы найти $x$, нам нужно использовать логарифм. $x$ будет логарифмом числа 7 по основанию 3: $x = \log_3 7$ **Ответ:** $x = \log_3 7$ ### Задание 3 Найдём промежутки возрастания и убывания функции $y = 3 - 5x - x^2$. Для этого нам нужно найти производную функции и посмотреть, где она положительна (функция возрастает) и где отрицательна (функция убывает). Найдём производную $y'$: $y' = (3 - 5x - x^2)'$ $y' = 0 - 5 - 2x$ $y' = -5 - 2x$ Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $-5 - 2x = 0$ $-2x = 5$ $x = -\frac{5}{2}$ $x = -2.5$ Это наша критическая точка. Теперь посмотрим, как ведёт себя производная на интервалах до и после этой точки. **Интервал 1:** $x < -2.5$ Возьмём любое число из этого интервала, например $x = -3$. Подставим его в производную: $y'(-3) = -5 - 2(-3) = -5 + 6 = 1$ Производная положительна ($y' > 0$), значит, функция возрастает на этом интервале. **Интервал 2:** $x > -2.5$ Возьмём любое число из этого интервала, например $x = 0$. Подставим его в производную: $y'(0) = -5 - 2(0) = -5$ Производная отрицательна ($y' < 0$), значит, функция убывает на этом интервале. **Ответ:** Функция возрастает на интервале $(-\infty; -2.5)$ и убывает на интервале $(-2.5; +\infty)$. ### Задание 4 Решим систему уравнений: $$\begin{cases} xy = 9 \\ x + y - \sqrt{xy} = 7 \end{cases}$$ Из первого уравнения мы знаем, что $xy = 9$. Это можно подставить во второе уравнение: $x + y - \sqrt{9} = 7$ $x + y - 3 = 7$ $x + y = 7 + 3$ $x + y = 10$ Теперь у нас есть простая система: $$\begin{cases} xy = 9 \\ x + y = 10 \end{cases}$$ Из второго уравнения выразим $y$: $y = 10 - x$. Подставим это в первое уравнение: $x(10 - x) = 9$ $10x - x^2 = 9$ Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $x^2 - 10x + 9 = 0$ Решим это квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. По теореме Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = 10$, а произведение $x_1 \cdot x_2 = 9$. Числа, которые подходят под эти условия, это 1 и 9. **Случай 1:** Если $x = 1$ Тогда $y = 10 - x = 10 - 1 = 9$. Проверим в исходных уравнениях: $1 \cdot 9 = 9$ (верно) $1 + 9 - \sqrt{1 \cdot 9} = 10 - \sqrt{9} = 10 - 3 = 7$ (верно) Значит, $(1; 9)$ - это решение. **Случай 2:** Если $x = 9$ Тогда $y = 10 - x = 10 - 9 = 1$. Проверим в исходных уравнениях: $9 \cdot 1 = 9$ (верно) $9 + 1 - \sqrt{9 \cdot 1} = 10 - \sqrt{9} = 10 - 3 = 7$ (верно) Значит, $(9; 1)$ - это тоже решение. **Ответ:** $(1; 9)$ и $(9; 1)$ ### Задание 5 У нас есть правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$. $S$ — вершина, $O$ — центр основания. $SA = 26$, $BD = 20$. Нужно найти длину отрезка $SO$. Поскольку пирамида правильная, её основание $ABCD$ — это квадрат. Точка $O$ — это центр квадрата, то есть точка пересечения его диагоналей. Известно, что диагональ основания $BD = 20$. В квадрате диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам. Значит, $BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{20}{2} = 10$. Вершина $S$ проецируется в центр основания $O$. Это значит, что отрезок $SO$ является высотой пирамиды и перпендикулярен плоскости основания. Поэтому треугольник $SOB$ (или $SOA$, $SOC$, $SOD$) является прямоугольным с прямым углом при вершине $O$. У нас есть прямоугольный треугольник $SOB$: - Гипотенуза $SB$ (это ребро пирамиды) равна $SA = 26$ (так как все боковые рёбра правильной пирамиды равны). - Катет $BO = 10$ (половина диагонали). - Катет $SO$ — это то, что мы ищем. По теореме Пифагора для треугольника $SOB$: $SO^2 + BO^2 = SB^2$ $SO^2 + 10^2 = 26^2$ $SO^2 + 100 = 676$ $SO^2 = 676 - 100$ $SO^2 = 576$ Чтобы найти $SO$, извлечём квадратный корень из 576: $SO = \sqrt{576}$ $SO = 24$ **Ответ:** Длина отрезка $SO$ равна 24.